Τρισχαριτωμένη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

Αν :

, βρείτε το : $(xy)_{max}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2026 8:54 am
Αν : , βρείτε το : $(xy)_{max}$ .

$72=x^2+4y^2+5xy \ge 2 \sqrt { x^2\cdot 4y^2} +5xy = 9xy$ .

Άρα $\boxed {xy\le 8}$ με ίσότητα όταν $x=4,\, y=2$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2026 8:54 am
Αν : , βρείτε το : $(xy)_{max}$ .

$\displaystyle {(x - 2y)^2} + 9xy = 72 \Leftrightarrow 9xy = 72 - {(x - 2y)^2} \leqslant 72 \Leftrightarrow$ $\boxed{(xy)_{\rm max}= 8}$ όταν $\boxed{x=2y= \pm 4}$

Με πρόλαβε ο Μιχάλης.

Fotis34 · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2026 8:54 am
Αν : , βρείτε το : $(xy)_{max}$ .

Απόρριψη δημοσίευσης.

#5

Fotis34 έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2026 6:22 pm
...
Θέτουμε:
$\displaystyle f(t) = \frac{72t}{t^2 + 5t + 4}$

Παραγωγίζουμε:
$\displaystyle f'(t) = \frac{72[(t^2 + 5t + 4) - t(2t + 5)]}{(t^2 + 5t + 4)^2}$

.
Φώτη, βλέπω πολλά προβλήματα με την μέθοδό σου. Τα ουσιαστικότερα είναι

α) Πώς ξέρεις ότι τα $t=\pm 2$ που βρήκες μετά την παραγώγιση οδηγούν σε ολικό μέγιστο και όχι τοπικό; Δυστυχώς το ένα από τα δύο δίνει τοπικό μέγιστο και το άλλο τοπικό ελάχιστο.

β) Για t=-2

έβγαλες ότι f(t)=-72

(αρνητικό), οπότε το απέρριψες. 'Ομως για t=-2

βγαίνει

(θετικό), που δεν μπορείς να απορρίψεις χωρίς κάποιο σχόλιο.

γ) H f(t)

που όρισες δεν έχει πεδίο ορισμού όλο το $\mathbb R$ αφού ο παρονομαστής του $\dfrac{72t}{t^2 + 5t + 4}$ μηδενίζεται για t=-1

και

. Οπότε τα θεωρήματα που χρησιμοποίησες για ακρότατα σε συναρτήσεις που ορίζονται σε διάστημα, δεν εφαρμόζονται.

Παρακάτω επισυνάπτω το γράφημα της

, όπου φαίνονται τα φαινόμενα που επισήμανα.
.

#6

Καλημέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά.

Μια παραλλαγή των παραπάνω πρόσεγγίσεων.

Αν $\displaystyle xy > 0$ τότε $\displaystyle {x^2} + 4{y^2} + 5xy = 72 \Leftrightarrow \frac{x}{y} + \frac{{4y}}{x} + 5 = \frac{{72}}{{xy}}$

Είναι $\displaystyle \frac{x}{y} + \frac{{4y}}{x} \ge 4$ , οπότε $\displaystyle \frac{x}{y} + \frac{{4y}}{x} + 5 \ge 9 \Leftrightarrow \frac{{72}}{{xy}} \ge 9 \Leftrightarrow xy \le 8$ .

Το ίσον λαμβάνεται όταν $\displaystyle x-2y=0$ , δηλαδή όταν $\displaystyle x=4, y = 2$ ή $\displaystyle x = -4, y =-2$ .

Αν $\displaystyle xy \le 0$ , προφανώς δεν έχουμε μέγιστο.

Τρισχαριτωμένη μεγιστοποίηση

Τρισχαριτωμένη μεγιστοποίηση

Re: Τρισχαριτωμένη μεγιστοποίηση

Re: Τρισχαριτωμένη μεγιστοποίηση

Re: Τρισχαριτωμένη μεγιστοποίηση

Re: Τρισχαριτωμένη μεγιστοποίηση

Re: Τρισχαριτωμένη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση