Μία ισότητα

Tolaso J Kos · #1

Με τους σύνηθεις συμβολισμούς, να δειχθεί ότι σε τρίγωνο ABC

ισχύει:

$\displaystyle{s^2 = b^2 \cos^2 \frac{C}{2} + c^2 \cos^2 \frac{B}{2} + 2bc \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \sin \frac{A}{2}}$
Η προθεσμία έχει παρέλθει για την υποβολή λύσεων ... οπότε μπορώ να την ανεβάσω.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 9:37 pm
Με τους σύνηθεις συμβολισμούς, να δειχθεί ότι σε τρίγωνο ισχύει:

$\displaystyle{s^2 = b^2 \cos^2 \frac{C}{2} + c^2 \cos^2 \frac{B}{2} + 2bc \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \sin \frac{A}{2}}$

Από τους τύπους $\dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc}= \cos A = 2\cos ^2 \dfrac {A}{2}= 1- 2\sin^2 \dfrac {A}{2}$ παίρνουμε τους γνωστούς τύπους (υπάρχουν σε όλες τις παλιές Τριγωνομετρίες)

$\cos \dfrac {A}{2}= \sqrt { \dfrac {s(s-a)}{bc}}, \, \sin \dfrac {A}{2}= \sqrt { \dfrac {(s-b)(s-c)}{bc}}$ και κυκλικά. Άρα η δοθείσα γράφεται

$\dfrac {b^2 s(s-c) }{ab} + \dfrac {c^2 s(s-b) }{ac} + 2bc \sqrt { \dfrac {s(s-b)\cdot s(s-c) \cdot (s-b)(s-c) }{a^2b^2c^2}}=$

$= \dfrac {b s(s-c) }{a} + \dfrac {c s(s-b) }{a} + \dfrac {2s(s-b)(s-c)}{a} = \dfrac {s}{a}\left [b(s-c) +c( s-b) + 2(s-b)(s-c)\right ]=$

$= \dfrac {s}{a}\left [2s^2-(b+c)s }\right ]= \dfrac {s^2}{a}\left [2s-(b+c)}\right ]= \dfrac {s^2}{a}\left [(a+b+c)-(b+c)}\right ]= s^2$

Μία ισότητα

Μία ισότητα

Re: Μία ισότητα

Μέλη σε σύνδεση