Σταράτος λόγος

KARKAR · #1

: Αρχιμηδική.png (17.72 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

Με σημείο

διαιρούμε τη διαγώνιο

, ρόμβου

, σε δύο τμήματα

με λόγο BS:SD=2:1

. Η

τέμνει την

στο

και την προέκταση

της

στο

. Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(SQD)}{(PQA)}$

Ορέστης Λιγνός · #2

Έστω $PA=x, \, AB=CD=y$ .

Από τα (προφανώς) όμοια PAQ, QCD

( $AP \parallel CD$ ... ) έχουμε $\dfrac{AQ}{QD}=\dfrac{x}{y}$ .

Το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο BAD

με διατέμνουσα SQP

δίνει $\dfrac{2x}{x+y}=\dfrac{QA}{QD}=\dfrac{x}{y} \Leftrightarrow x=y$ , που σημαίνει BA=AP

και

.

Από τα όμοια QSD

,

παίρνουμε $SC=2QS \Leftrightarrow QC=3QS$ .

Έτσι, $(APQ)=(QCD)=3(QSD) \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{(QSD)}{(PAQ)}=\dfrac{1}{3}}$

(το

ισχύει διότι τα όμοια αυτά τρίγωνα έχουν QA=QD

, άρα είναι ίσα και ισεμβαδικά).

#3

Έστω ισοσκελές τρίγωνο BTP(BT = BP)

και τα μέσα C,D,A

των πλευρών του

BT,TP,PA

αντίστοιχα.

Αν

το βαρύκεντρο του $\vartriangle BTP$ και η διάμεσος

κόψει την

στο

τα

παρακάτω προκύπτουν άμεσα:

: Σταράτος λόγος_1.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 763 φορές

1. το τετράπλευρο ABCD

είναι ρόμβος

2. BS = 2SD

3. Αν

τότε : $(SBC) = 4E\,\,,\,\,(SCD) = 2E\,\,,\,\,\vartriangle PAQ = \vartriangle CDQ$

Συνεπώς $(PAQ) = (CDQ) = 3E \Rightarrow \boxed{\frac{{(QSD)}}{{(PAQ)}} = \frac{1}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε:Αρχιμηδική.pngΜε σημείο διαιρούμε τη διαγώνιο , ρόμβου , σε δύο τμήματα

με λόγο . Η τέμνει την στο και την προέκταση

της στο . Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(SQD)}{(PQA)}$

$\displaystyle{AD//BC \Rightarrow \frac{{BC}}{{QD}} = \frac{{BS}}{{SD}} = 2 \Rightarrow \frac{{AD}}{{QD}} = 2 \Rightarrow {\text{ }}\boxed{AQ = QD} \Rightarrow S}$ κ.βάρους του $\displaystyle{\vartriangle ACD}$

Προφανώς $\displaystyle{\vartriangle PAQ = \vartriangle QCD}$ οπότε $\displaystyle{\frac{{\left( {QSD} \right)}}{{\left( {PAQ} \right)}} = \boxed{\frac{{\left( {QSD} \right)}}{{\left( {QCD} \right)}} = \frac{{QS}}{{QC}} = \frac{1}{3}}}$

: Σταράτος λόγος.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Σταράτος λόγος

Σταράτος λόγος

Re: Σταράτος λόγος

Re: Σταράτος λόγος

Re: Σταράτος λόγος

Μέλη σε σύνδεση