Τριπλάσιο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Τριπλάσιο εμβαδόν.png (10.03 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

Σημείο

βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο

, ενός τετραγώνου ABCD

.

Η κάθετη της

στο

, τέμνει την

στο

και την προέκταση της

στο

. Πως πρέπει να επιλεγεί το σημείο

, ώστε :

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2017 1:11 pm
Σημείο βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο , ενός τετραγώνου .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο και την προέκταση της

στο . Πως πρέπει να επιλεγεί το σημείο , ώστε : ;

Η κεντρική παρατήρηση είναι, όπως θα δούμε παρακάτω, ότι SA=CT

. Με άλλα λόγια τα τρίγωνα ASH, HCT

έχουν ίσες βάσεις. Άρα πρέπει το ύψος από το

του πρώτου να είναι τριπλάσιο του ύψους από το

του δεύτερου. Επειδή η απόσταση του

από την

είναι όση η απόστασή του από την

(είμαστε στην διαγώνιο) πρέπει η απόσταση του

από την

να είναι τριπλάσια της απόστασής του από την

. Άρα (άμεσο) το

χωρ'ιζει την διαγώνιο σε μέρη AH:HC=3:1

Μένει να δείξουμε την SA=CT

.

Από τα εγράψιμμα ABHS, BTCH

(κοιτάξτε τις ορθές τους γωνίες SAB, BHS, BHT, BCT

) έπεται ότι $\angle HBS= \angle SAH = 45^o$ , $\angle HTB = \angle HCB=45^o$ . Άρα SH=HB=BT

.

Φέρνουμε τώρα την

παράλληλη στην

με

στην διαγώνιο. Από το προηγούμενο είναι άμεσο ότι τα τρίγωνα HCT, SUH

είναι ίσα. Άρα CT=SU=SA

(διότι $\angle SAU = \angle SUA = 45^o$ ), όπως θέλαμε να δείξουμε.

(Αν βρώ χρόνο θα γράψω απλή απόδειξη και με Αναλυτική)

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2017 1:11 pm
Τριπλάσιο εμβαδόν.pngΣημείο βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο , ενός τετραγώνου .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο και την προέκταση της

στο . Πως πρέπει να επιλεγεί το σημείο , ώστε : ;

Αφήνω προς το παρόν το σχήμα, που φανερώνει την κατασκευή του σημείου

: Triple area.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 719 φορές

#4

Τώρα βλέπω ότι η ισότητα των SA, CT

ήταν ζητούμενο στην άσκηση εδώ. Δεν το είχα δει.

Κλέβοντας από τις εκεί λύσεις, μπορούμε να απλοποιήσουμε την παραπάνω λύση μου λέγοντας: Αφού δείξουμε ότι SB=BT

, η ισότητα SA=CT

είναι άμεση από σύγκριση των τριγώνων SAB, BCT

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2017 1:11 pm
Τριπλάσιο εμβαδόν.pngΣημείο βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο , ενός τετραγώνου .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο και την προέκταση της

στο . Πως πρέπει να επιλεγεί το σημείο , ώστε : ;

Οι πράσινες γωνίες προφανώς είναι ίσες ( $\displaystyle CTBH$ εγγράψιμο) ,άρα $\displaystyle DH = HT$ κι επειδή $\displaystyle \angle D = {90^0} \Rightarrow DH = HT = SH$

$\displaystyle \left( {SAH} \right) = 3\left( {HCT} \right) \Rightarrow AE = 3CZ$ .Άρα $\displaystyle \boxed{\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AE}}{{CZ}} = 3}$

: te.png (11.76 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2017 1:11 pm
Τριπλάσιο εμβαδόν.pngΣημείο βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο , ενός τετραγώνου .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο και την προέκταση της

στο . Πως πρέπει να επιλεγεί το σημείο , ώστε : ;

: Triple area.II.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Παίρνω $AS=CT=\dfrac{a}{2}$ και από εδώ το

ανήκει στην

και είναι μέσο του ST.

Θα δείξω ότι επαληθεύει την υπόθεση.

Πράγματι, $\displaystyle (ASH) = (HDS) = (HDT) = 3(CHT)$

Τριπλάσιο εμβαδόν

Τριπλάσιο εμβαδόν

Re: Τριπλάσιο εμβαδόν

Re: Τριπλάσιο εμβαδόν

Re: Τριπλάσιο εμβαδόν

Re: Τριπλάσιο εμβαδόν

Re: Τριπλάσιο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση