Γωνία διαμέσου και πλευράς

#1

: Γωνία διαμέσου και πλευράς.png (6.11 KiB) Προβλήθηκε 2177 φορές

Στο σχήμα το

είναι μέσο του

. Βρείτε τη γωνία $\theta$ .

24 ώρες για τους μαθητές .

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #2

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 16, 2020 7:14 pm
Γωνία διαμέσου και πλευράς.png

Στο σχήμα το είναι μέσο του . Βρείτε τη γωνία $\theta$ .

24 ώρες για τους μαθητές .

Καλησπέρα.
Έστω (c)

ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC

και ας είναι

το κέντρο του .
Τότε εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι το τρίγωνο AKC

είναι ισόπλευρο. Επίσης θα είναι $KM\perp BC$ και επειδή $\angle{KCM}=45^{0}$ έπεται ότι BM=MK=MC

. Τέλος παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα AMK

και

είναι ίσα . Οπότε $\angle{MAC}=\frac{1}{2}60^{0}=30^{0}$ .

Filippos Athos · #3

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 16, 2020 7:14 pm

Στο σχήμα το είναι μέσο του . Βρείτε τη γωνία $\theta$ .

24 ώρες για τους μαθητές .

: Γωνία διαμέσου και πλευράς.png (13 KiB) Προβλήθηκε 2090 φορές

α) Τρόπος
Φέρνουμε κάθετη από το

στο

.

Προφανώς MB=MC=DC=DM=DA

κάνοντας τον περιγεγραμένο κύκλο με κέντρο

και ακτίνα

παρατηρούμε οτι περνά από τα σημεία A,M,C

από το

.

Άρα αφού $M\widehat{D}C=60^{\circ}$
Από γνωστό κανόνα (εγγεγραμμένης-επίκεντρης γωνίας) $M\widehat{A}C=\frac{1}{2}\cdot M\widehat{D}C=\frac{1}{2}\cdot 60=30^{\circ}$

β) Τρόπος
Από το (1)

$D\widehat{A}M=\frac{180-30}{2}=75^{\circ}$
άρα $M\widehat{A}C=75-45=30^{\circ}$

#4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 16, 2020 7:14 pm
Γωνία διαμέσου και πλευράς.png

Στο σχήμα το είναι μέσο του . Βρείτε τη γωνία $\theta$ .

24 ώρες για τους μαθητές .

Έστω

η προβολή του

στην

και

το μέσο του AC.

: Γωνία διαμέσου και πλευράς.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 2079 φορές

$\displaystyle C\widehat PN = P\widehat CN = 15^\circ ,C\widehat MN = \widehat B = 30^\circ ,$ άρα $\displaystyle PM = MN = \frac{{AB}}{2} = AP \Rightarrow PAM = 45^\circ$ και κατά συνέπεια $\displaystyle \theta = 30^\circ$

Filippos Athos · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 18, 2020 2:36 pm

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 16, 2020 7:14 pm

Στο σχήμα το είναι μέσο του . Βρείτε τη γωνία $\theta$ .

24 ώρες για τους μαθητές .
Έστω η προβολή του στην και το μέσο του

$\displaystyle C\widehat PN = P\widehat CN = 15^\circ ,C\widehat MN = \widehat B = 30^\circ ,$ άρα $\displaystyle PM = MN = \frac{{AB}}{2} = AP \Rightarrow PAM = 45^\circ$ και κατά συνέπεια $\displaystyle \theta = 30^\circ$

Και χωρίς κύκλο!!!

#6

Η πρώτη μου επιλογή ήταν η λύση του Δημήτρη

.

Πολύ ωραίες οι λύσεις που ακολούθησαν του Φιλίππου

και του φίλου μου του Γιώργου.

( Εσένα Γιώργο σε χειροκροτούν οι απανταχού μαθηματικοί για τις παρεμβάσεις σου σε δύσκολα θέματα μαθηματικών !)

Ας δούμε ακόμη μια που μου προέκυψε από την «πίεση» να βρω μια διαφορετική λύση από τις πιο πάνω και εντός φακέλου.

: Γωνία πλευράς και διαμέσου _2.png (29.75 KiB) Προβλήθηκε 2029 φορές

Φέρνω τη μεσοκάθετο του

που τέμνει στο

την ευθεία

.

Ας είναι K,L,M

οι προβολές του

στις ευθείες : $BC\,\,,\,\,DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ .

Θα είναι : $AK = AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM = AL$ γιατί οι $CA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EA$ είναι διχοτόμοι των γωνιών : $\widehat {MCK}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {MEL}$ .

Συνεπώς το τετράπλευρο AKDL

είναι τετράγωνο και έτσι : $\boxed{\widehat {{x_{}}} = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ }$

p_gianno · #7

: γωνία διαμέσου.png (46.62 KiB) Προβλήθηκε 1937 φορές

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο BDC

. Τότε

και

.

διχοτόμος της BDC

άρα

και

(1)

Τα τρίγωνα DBA , CBA

είναι ίσα (π-γ-π) συνεπώς AD=AC

και επειδή C_2=45^0

έχουμε

. (2)

Από 1 και 2 έχουμε DAMC

εγγράψιμο. Συνεπώς $\theta=D_3=30^0$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 16, 2020 7:14 pm
Γωνία διαμέσου και πλευράς.png

Στο σχήμα το είναι μέσο του . Βρείτε τη γωνία $\theta$ .

24 ώρες για τους μαθητές .

Με

συμμετρικό του

ως προς

και

συμμετρικό του

ως προς

θα έχουμε ότι

AE//BC

και $\triangle EDC$ ισόπλευρο με AE=EC

Έτσι $\angle 2 \theta =60^0 \Rightarrow \theta =30^0$ (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμένης)

: γωνία διαμέσου-πλευράς.png (19.59 KiB) Προβλήθηκε 1900 φορές

STOPJOHN · #9

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 16, 2020 7:14 pm
Γωνία διαμέσου και πλευράς.png

Στο σχήμα το είναι μέσο του . Βρείτε τη γωνία $\theta$ .

24 ώρες για τους μαθητές .

Εστω ότι $SMT\perp BC,MB=MC=MS,$ Τότε $\hat{TAC}=45^{0}=\hat{MSB}$

Συνεπώς το τετράπλευρο ALSB

είναι εγγράψιμο και $\hat{BAL}=\hat{BLS}=75^{0},AS=BS=SC$ Το τρίγωνο ASC

είναι ισόπλευρο και η

μεσοκάθετος άρα $\hat{\theta }=60-30=30$

Γωνία διαμέσου και πλευράς

Γωνία διαμέσου και πλευράς

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

Re: Γωνία διαμέσου και πλευράς

Μέλη σε σύνδεση