Τρίγωνο κτλ

#1

Στο τρίγωνο ABC

ισχύει $\angle A = 2\angle C$ και $2\angle B = \angle A + \angle C$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\angle C$ τέμνει το τμήμα

στο

και έστω

το μέσο του

και

το ύψος του τριγώνου ABC

. Η μεσοκάθετη του

τέμνει την

στο

.
Να αποδείξετε ότι AM = CM

.

#2

socrates έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 26, 2022 1:44 am
Στο τρίγωνο ισχύει $\angle A = 2\angle C$ και $2\angle B = \angle A + \angle C$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\angle C$ τέμνει το τμήμα στο και έστω το μέσο του και το ύψος του τριγώνου . Η μεσοκάθετη του τέμνει την στο .
Να αποδείξετε ότι .

Από την υπόθεση, εύκολα βρίσκω $\displaystyle A = 80^\circ ,B = 60^\circ ,C = 40^\circ.$

: Τρίγωνο κτλ.png (24.12 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

$\displaystyle A\widehat EC = E\widehat AC = 80^\circ,$ άρα CA=CE

και

ύψος και διχοτόμος της $A\widehat CE.$ Επομένως,

$\displaystyle F\widehat CD = 30^\circ = F\widehat AD,$ οπότε το AFDC

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

κι επειδή

το

βρίσκεται στη μεσοκάθετο της χορδής

θα είναι το κέντρο του κύκλου, άρα και το μέσο του AC.

Henri van Aubel · #3

Πολύ ωραία και κομψή λύση!!

Να πω μόνο πως βρίσκουμε τις γωνίες του αρχικού τριγώνου.
Έχουμε:

$\displaystyle \angle B=\frac {\angle A+\angle C}{2}(1)$

$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ (2)$

Συνδυάζοντας παίρνουμε

$\displaystyle \angle A+\angle C+\frac {\angle A+\angle C}{2}=180^\circ$ ,

οπότε τελικά $\angle A+\angle C=120^\circ$

άρα $\displaystyle \angle A= 80^\circ$ , $\displaystyle \angle B= 60^\circ$ , $\displaystyle \angle C= 40^\circ$ .

#4

socrates έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 26, 2022 1:44 am
Στο τρίγωνο ισχύει $\angle A = 2\angle C$ και $2\angle B = \angle A + \angle C$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\angle C$ τέμνει το τμήμα στο και έστω το μέσο του και το ύψος του τριγώνου . Η μεσοκάθετη του τέμνει την στο .
Να αποδείξετε ότι .

: τρίγωνο κτλ.png (18.93 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές

Το $\vartriangle CAE \to \left( {20^\circ ,80^\circ ,80^\circ } \right)$ συνεπώς η διάμεσός του

είναι κάθετη στην

με άμεση συνέπεια:

το τετράπλευρο AEDC

να είναι εγγράψιμο και μάλιστα σε κύκλο διαμέτρου

οπότε το κέντρο του είναι το μέσο

του

.

Η μεσοκάθετος στην χορδή του

θα διέρχεται από το κέντρο του

.

Τρίγωνο κτλ

Τρίγωνο κτλ

Re: Τρίγωνο κτλ

Re: Τρίγωνο κτλ

Re: Τρίγωνο κτλ

Μέλη σε σύνδεση