Τριψήφιοι στην σειρά

Al.Koutsouridis · #1

Ο Ανδρέας έγραψε στην σειρά μερικούς (τουλάχιστον δυο) διαδοχικούς τριψήφιους αριθμούς κατά αύξουσα σειρά, σχηματίζοντας έναν μεγάλο αριθμό (για παράδειγμα 123124125

). Προκέκυψε ότι ο αριθμός του, διαιρείται με όλους τους αριθμούς από το

έως το

. Να βρείτε τον ελάχιστο δυνατό τέτοιο αριθμό.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 20, 2024 10:15 pm
Ο Ανδρέας έγραψε στην σειρά μερικούς (τουλάχιστον δυο) διαδοχικούς τριψήφιους αριθμούς κατά αύξουσα σειρά, σχηματίζοντας έναν μεγάλο αριθμό (για παράδειγμα ). Προκέκυψε ότι ο αριθμός του, διαιρείται με όλους τους αριθμούς από το έως το . Να βρείτε τον ελάχιστο δυνατό τέτοιο αριθμό.

Καλημέρα.
Αρχικά, αφού ο ζητούμενος αριθμός διαιρείται με το $\displaystyle{2}$ και το $\displaystyle{5}$ , θα πρέπει να λήγει σε $\displaystyle{0}$ .

Θα δείξουμε ότι ο αριθμός που ζητάμε, δεν μπορεί να είναι εξαψήφιος. Πράγματι, με βάση την εκφώνηση, αν ήταν εξαψήφιος, θα έπρεπε να είχε την μορφή:

$\displaystyle{XY9X(Y+1)0}$ , αν $\displaystyle{Y<9}$ , ή την μορφή: $\displaystyle{X99(X+1)00}$ , αν $\displaystyle{Y=9}$ .

Θα δείξουμε ότι οι αριθμοί αυτοί δεν διαιρούνται με το $\displaystyle{7}$

Πράγματι, ο πρώτος γράφεται:

$\displaystyle{100000X +10000Y+1000.9 + 100X + 10(Y+1)+0 = 100100X +10010Y +9010=100100X+10010Y + 9009 +1 =}$

$\displaystyle{=7(14300X+1430Y+1287)+1}$ .

Και ο δεύτερος γράφεται:

$\displaystyle{100100X+99100=100100X+99099+1=7(14300X+14157)+1}$

Συνεπώς, κάθε εξαψήφιος της πιο πάνω από τις δύο μορφές, όταν διαιρεθεί με το $\displaystyle{7}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{!}$ . Άρα ο ζητούμενος,

αριθμός, δεν μπορεί να είναι εξαψήφιος.

Ας δούμε αν μπορεί να έχει $\displaystyle{9}$ ψηφία.

(α) Έστω ότι το πρώτο ψηφίο είναι το $\displaystyle{1}$ .

Τότε ο ζητούμενος αριθμός θα πρέπει να έχει την μορφή:

$\displaystyle{1X81X91(X+1)0}$ , αν $\displaystyle{X<9}$ , ή θα είναι ο $\displaystyle{198199200}$ , αν $\displaystyle{X=9}$

O δεύτερος αριθμός, απορρίπτεται, αφού δεν διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ και ο πρώτος έχει άθροισμα ψηφίων:

$\displaystyle{1+X+8+1+X+9+1+(X+1)+0 = 3X+21=3(X+7)}$ .

Για να διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ , θα πρέπει $\displaystyle{X\in \{2,5,8\}}$ .

Οπότε προκύπτουν οι αριθμοί : $\displaystyle{128129130 , 158159160 , 188189190}$ ,

που κανένας από αυτούς δεν διαιρείται με το $\displaystyle{7}$ και άρα απορρίπτονται.

(β) Έστω ότι το πρώτο ψηφίο είναι το $\displaystyle{2}$ .

Τότε ο ζητούμενος αριθμός θα πρέπει να έχει την μορφή:

$\displaystyle{2X82X92(X+1)0}$ , αν $\displaystyle{Χ<9}$ , ή την μορφή $\displaystyle{298299300}$ , αν $\displaystyle{X=9}$

Πάλι ο δεύτερος απορρίπτεται αφού δεν διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ , ενώ το άθροισμα των ψηφίων του πρώτου είναι:

$\displaystyle{2+X+8+2+X+9+2+(X+1)+0 = 3(X+8)}$ .

Για να διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ , πρέπει $\displaystyle{X\in\{1,4,7\}}$ .

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τρεις εννεαψήφιοι αριθμοί που προκύπτουν δεν διαιρούνται με το $\displaystyle{7}$ , άρα απορρίπτονται

(γ) Έστω ότι το πρώτο ψηφίο είναι το $\displaystyle{3}$ .

Τότε ο ζητούμενος αριθμός θα πρέπει να έχει την μορφή:

$\displaystyle{3X83X93(X+1)0}$ , αν $\displaystyle{X<9}$ , ή την μορφή $\displaystyle{398399400}$ , αν $\displaystyle{X=9}$

Το άθροισμα των ψηφίων του πρώτου αριθμού, είναι ίσο με $\displaystyle{3(X+9)}$ και για να διαιρείται ο αριθμός αυτός με το $\displaystyle{9}$

θα πρέπει $\displaystyle{X\in \{0,3,6\}}$ . Όμως κανείς τους δεν διαιρείται με το $\displaystyle{7}$ και άρα μένει να εξετάσουμε αν ο ζητούμενος

αριθμός είναι ο $\displaystyle{398399400}$

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο αριθμός αυτός διαιρείται με τους αριθμούς $\displaystyle{1,2,3, ... , 9}$ και συνεπώς είναι ο ζητούμενος.

Τριψήφιοι στην σειρά

Τριψήφιοι στην σειρά

Re: Τριψήφιοι στην σειρά

Μέλη σε σύνδεση