Αν x,y,z \in {\Cal R},

S.E.Louridas · #1

Καλημέρα και καλό μήνα.
Απλά για να δημιουργήσω την 5000η δημοσίευση μου εδώ στην τεράστια Μαθηματική πλατφόρμα μας mathematica.

Αν $x,y,z \in {\Cal R},\;{{\mu \varepsilon }}\;xyz \ne 0\;{{\kappa \alpha \iota }}\;x + y + z = xyz$ $\kappa \alpha \iota\; n$ περιττός ακέραιος, τότε να αποδειχθεί ότι ${x^n} + {y^n} + {z^n} \ne 0.$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω πως ίσχυε ότι x^n+y^n+z^n=0

για κάποια x, y, z, n

.

Προφανώς δεν γίνεται και οι

από τους

να είναι θετικοί πραγματικοί, καθώς τότε x^n+y^n+z^n>0

Ακόμη δεν γίνεται και οι

από τους

να είναι αρνητικοί, καθώς τότε x^n+y^n+z^n<0

Επομένως διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

a) Να είναι

θετικοί και ο άλλος αρνητικός:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως x, y

θετικοί και πως

αρνητικός. Επομένως θέτουμε z=-z_1

, όπου

θετικός πραγματικός. Επομένως πρέπει $x^n+y^n+z^n=0\Leftrightarrow z_1^n=x^n+y^n$ (1)

Η συνθήκη x+y+z=xyz

γίνεται $x+y-z_1=-xyz_1\Leftrightarrow z_1(xy-1)=-x-y\Leftrightarrow z_1=\dfrac{-x-y}{xy-1}\Leftrightarrow z_1=\dfrac{x+y}{1-xy}$

Χρησιμοποιώντας τώρα την (1) παίρνουμε πως $\dfrac{(x+y)^n}{(1-xy)^n}=x^n+y^n$

Όμως 1-xy<1

, άρα $x^n+y^n=\dfrac{(x+y)^n}{(1-xy)^n}>(x+y)^n\Leftrightarrow x^n+y^n>(x+y)^n$ , προφανώς άτοπο.

b) Να είναι

θετικός και οι άλλοι δύο αρνητικοί:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως x, y

αρνητικοί και πως

θετικός. Επομένως θέτουμε x=-x_1

και

, όπου

θετικοί πραγματικοί. Επομένως πρέπει $x^n+y^n+z^n=0\Leftrightarrow x_1^n+y_1^n=z^n$ (2)

Η συνθήκη x+y+z=xyz

γίνεται $-x_1-y_1+z=x_1y_1z\Leftrightarrow...\Leftrightarrow z=\dfrac{x_1+y_1}{1-x_1y_1}$

Χρησιμοποιώντας τώρα την (2) παίρνουμε πως $\dfrac{(x_1+y_1)^n}{(1-x_1y_1)^n}=x_1^n+y_1^n$ , άτοπο όπως αποδείξαμε στην παραπάνω περίπτωση a)

#3

Ήθελα λοιπόν να συμμετέχω και εγώ στον εορτασμό της 5000ης δημοσίευσης του Σωτήρη μας -- στον οποίο εύχομαι βέβαια τα καλύτερα για την σημερινή ονομαστική του εορτή! -- και το πάλεψα ... θέτοντας $y=\lambda x$ & $z=\mu x$ και απαλείφοντας το $\mu$ μέσω της δοθείσης συνθήκης x+y+z=xyz

ώστε να καταλήξω στο πρόβλημα που βλέπετε εδώ (με

αντί $\lambda$ ): ΠΟΛΥ πριν προλάβω να το λύσω όμως εμφανίστηκε η αυτόνομη λύση του Διονύση ... and the rest is history που λέμε

#4

Νομίζω έχω ένα πιο βελτιωμένο αποτέλεσμα:

Αν $xyz\neq 0$ και οι $x+y+z, \ xyz$ είναι ομόσημοι (όχι απαραίτητα ίσοι) τότε και ο x^n+y^n+z^n

με

περιττό, έχει το ίδιο πρόσημο

(Μάλιστα αν οι $x+y+z, \ xyz$ είναι θετικοί τότε x^n+y^n+z^n > 0

για κάθε $n\in\mathbb{N}$ ).

Υ.Γ. Σωτήρη χρόνια πολλά για τη γιορτή σου!

Αλέξανδρος

#5

Ας κάνω την περίπτωση που xyz>0

και

και θέλουμε να δείξουμε ότι x^n+y^n+z^n>0

. Για

άρτιο είναι προφανές.
Για

περιττό, αν και οι τρεις είναι θετικοί, τότε το ζητούμενο είναι άμεσο. Αν όχι, τότε είναι ένας θετικός και δύο αρνητικοί. Έστω x>0

και

.
Αν θέσουμε a=-y

και

, τότε έχουμε ότι x>a+b

και θέλουμε να δείξουμε ότι x^n>a^n+b^n

. Αρκεί να δείξουμε ότι (a+b)^n>a^n+b^n

για θετικά a,b

που είναι άμεσο.

#6

silouan έγραψε:Ας κάνω την περίπτωση που και και θέλουμε να δείξουμε ότι . Για άρτιο είναι προφανές.
Για περιττό, αν και οι τρεις είναι θετικοί, τότε το ζητούμενο είναι άμεσο. Αν όχι, τότε είναι ένας θετικός και δύο αρνητικοί. Έστω και .
Αν θέσουμε και , τότε έχουμε ότι και θέλουμε να δείξουμε ότι . Αρκεί να δείξουμε ότι για θετικά που είναι άμεσο.

Ωραία Σιλουανέ! Έχω σχεδόν την ίδια λύση πολύ ελαφρά παραλαγμένη. Ας σημειωθεί ότι η παραπάνω λύση του Σιλουανού μπορεί να προσαρμοστεί και για την περίπτωση που $x+y+z<0, \ xyz<0$ και

περιττός για να δείξουμε ότι επίσης x^n+y^n+z^n<0

.

Αλέξανδρος

Αν x,y,z \in {\Cal R},

Αν x,y,z \in {\Cal R},

Re: Αν x,y,z \in {\Cal R},

Re: Αν x,y,z \in {\Cal R},

Re: Αν x,y,z \in {\Cal R},

Re: Αν x,y,z \in {\Cal R},

Re: Αν x,y,z \in {\Cal R},

Μέλη σε σύνδεση