Ισότητα γωνιών

KARKAR · #1

: Ισότητα γωνιών.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Τα

είναι σημεία της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , συμμετρικά ως προς το κέντρο

.

Από σημείο

εκτός του τομέα , φέρουμε τις SL,SN

, οι οποίες τέμνουν το τόξο στα P,Q

.

Οι κάθετες στις ευθείες αυτές στα P,Q

τέμνονται στο

. Δείξτε ότι : $\widehat{PLT}=\widehat{QNT}$

Al.Koutsouridis · #2

KARKAR έγραψε:Ισότητα γωνιών.pngΤα είναι σημεία της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , συμμετρικά ως προς το κέντρο .

Από σημείο εκτός του τομέα , φέρουμε τις , οι οποίες τέμνουν το τόξο στα .

Οι κάθετες στις ευθείες αυτές στα τέμνονται στο . Δείξτε ότι : $\widehat{PLT}=\widehat{QNT}$

Καλησπέρα,

: isothta_gwniwn.png (100.81 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Έστω

το σημείο τομής της

με το κύκλο διαμέτρου

και

το σημείο τομής της

με αυτό το κύκλο. Εφόσον $\angle XQX{'} = 90^0$ τα σημεία X,O,X{'}

είναι συνευθειακά.

Αν το σημείο Q{'}

είναι το αντιδιαμετρικό του

, τότε από το θεώρημα της πεταλούδας το τμήμα XQ{'}

θα διέρχεται από το

. Επομένως $\angle Q{'}XQ = \angle LXT = 90^0$ , αφού QQ{'}

διάμετρος.

Έχουμε $\angle LXT = \angle LPT = 90^0$ που συνεπάγεται την εγραψιμότητα του τετραπλεύρου LXPT

. Άρα θα είναι και $\angle PLT = \angle PXT$ (1).

Ομοίως, με την βοήθεια του θεωρήματος της πεταλούδας το τετράπλευρο TQYN

είναι εγγράψιμο και άρα $\angle TNQ =\angle TYQ = \angle PYQ$ (2).

Οι ισότητες (1) και (2) μας δίνουν το ζητούμενο.

#3

KARKAR έγραψε:Τα είναι σημεία της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , συμμετρικά ως προς το κέντρο .Από σημείο εκτός του τομέα , φέρουμε τις , οι οποίες τέμνουν το τόξο στα .Οι κάθετες στις ευθείες αυτές στα τέμνονται στο . Δείξτε ότι : $\widehat{PLT}=\widehat{QNT}$

Ωραίος!!!! ο Αλέξανδρος με τις «πεταλούδες» του. Ας δούμε όμως και μια στοιχειώδη λύση του προβλήματος.

: 1.png (32.25 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Τότε με το μέσο της από το τρίγωνο $\vartriangle TLN\Rightarrow TFOE$ παραλληλόγραμμο, οπότε : $\angle OFT=\angle TEO:\left( 1 \right)$

και $\left\{ \begin{gathered} TF = OE \hfill \\ FO = TE \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle PTL,\vartriangle QTN\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\sigma \tau \alpha \,\,P,Q,PT,QE\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\iota }$ $\left\{ \begin{gathered} FP = TF = EO \\ OF = TE = EQ \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{OP = OQ = {R_0}} \vartriangle FPO = \vartriangle EOQ \Rightarrow$

$\angle PFO = \angle OEQ\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \angle PFT = \angle QET \Rightarrow$ $2\left( {\angle PLT} \right) = 2\left( {\angle QNT} \right) \Rightarrow \boxed{\angle PLT = \angle QNT}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
KARKAR έγραψε:Τα είναι σημεία της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , συμμετρικά ως προς το κέντρο .Από σημείο εκτός του τομέα , φέρουμε τις , οι οποίες τέμνουν το τόξο στα .Οι κάθετες στις ευθείες αυτές στα τέμνονται στο . Δείξτε ότι : $\widehat{PLT}=\widehat{QNT}$
Ωραίος!!!! ο Αλέξανδρος με τις «πεταλούδες» του. Ας δούμε όμως και μια στοιχειώδη λύση του προβλήματος.
1.png
Έστω τα μέσα των αντίστοιχα. Τότε με το μέσο της από το τρίγωνο $\vartriangle TLN\Rightarrow TFOE$ παραλληλόγραμμο, οπότε : $\angle OFT=\angle TEO:\left( 1 \right)$

και $\left\{ \begin{gathered} TF = OE \hfill \\ FO = TE \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle PTL,\vartriangle QTN\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\sigma \tau \alpha \,\,P,Q,PT,QE\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\iota }$ $\left\{ \begin{gathered} FP = TF = EO \\ OF = TE = EQ \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{OP = OQ = {R_0}} \vartriangle FPO = \vartriangle EOQ \Rightarrow$

$\angle PFO = \angle OEQ\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \angle PFT = \angle QET \Rightarrow$ $2\left( {\angle PLT} \right) = 2\left( {\angle QNT} \right) \Rightarrow \boxed{\angle PLT = \angle QNT}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Πολύ απλά κι ωραία!

Ισότητα γωνιών

Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση