Διοφαντική

#1

Να δειχθεί ότι η εξίσωση

$\displaystyle{ \frac{4}{2017} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

δεν έχει λύση στους θετικούς ακεραίους.

#2

Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}=\frac{1}{2017}.}$

Θέτουμε $\displaystyle{4x=2017+a, 4y=2017+b,}$ οπότε

$\displaystyle{\frac{1}{2017+a}+\frac{1}{2017+b}=\frac{1}{2017}.}$

Αυτή γίνεται $\displaystyle{ab=2017^2}$ και επειδή το 2017

είναι πρώτος προκύπτει $\displaystyle{a=b=2017}$ (η περίπτωση ο ένας να ισούται με

προφανώς αποκλείεται).

Άρα $\displaystyle{4x=2\cdot 2017,}$ άτοπο.

#3

Λίγο διαφορετικά:

Ισοδύναμα είναι 4xy = 2017x + 2017y

. Μπορούμε τώρα να παραγοντοποιήσουμε:

$\displaystyle{ (2017-4x)(2017-4y) = 2017^2 + 4(4xy - 2017x - 2017y) = 2017^2. }$

Επειδή το 2017

είναι πρώτος και επειδή x,y > 0

πρέπει

και

ή

και

ή

και

Είναι εύκολο να δούμε ότι απορρίπτονται και οι τρεις περιπτώσεις.

#4

Και για χάρη πολυφωνίας ακόμη μία λύση:

Η εξίσωση γράφεται 4xy=2017(x+y)

. Επειδή ο 2017

είναι πρώτος άρα 2017|xy

απ' όπου

ή

.

Αν

τότε

και η παραπάνω γίνεται τελικά 4x_1y=2017x_1+y

απ' όπου

άρα

οπότε η τελευταία εξίσωση γίνεται

4x_1y_1=2017+y_1

απ' όπου

κι έτσι

(που δεν δίνει λύσεις) ή y_1=2017

(που επίσης δεν δίνει λύσεις).

Η περίπτωση 2017|y

αντιμετωπίζεται με ακριβώς ίδιο τρόπο όπως την παραπάνω.

Άρα η αρχική είναι αδύνατη.

Αλέξανδρος

#5

Ας πάμε με την πεπατημένη. Λύνουμε ως προς

$x=2017\dfrac{y}{4y-2017}$ . Πρέπει 4y-2017>0

Πολλαπλασιάζουμε επί

και επειδή $\dfrac{4y}{4y-2017}=1+\dfrac{2017}{4y-2017}$ παίρνουμε

$4x = 2017+\dfrac{2017^2}{4y-2017}$

Επομένως 4y -2017=1

ή

, που είναι αδύνατες στο σύνολο των θετικών ακεραίων.

Διοφαντική

Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση