Είναι τέλειο τετράγωνο

#1

Αν $\displaystyle{x,y\in N}$ και αν $\displaystyle{y^2 -2x^2 = 4xy+x}$ , να αποδείξετε ότι ο

είναι τέλειο τετράγωνο

#2

... και πιο γενικά αν $x,y\in \Bbb{Z}.$

big-pitsirikos · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Αν $\displaystyle{x,y\in N}$ και αν $\displaystyle{y^2 -2x^2 = 4xy+x}$ , να αποδείξετε ότι ο είναι τέλειο τετράγωνο

Η εξίσωση γράφεται (2x-y)^2=x(6x+1)

.

Έστω τώρα $\gcd(x,6x+1)=d$ .
Τότε $d/x, \,\, d /6x+1$ , και άρα $d/6x, \,\, d/6x+1$ , συνεπώς d=1

.

Συνεπώς, οι $x, \, 6x+1$ είναι πρώτοι μεταξύ τους. Αφού όμως το γινόμενό τους είναι τέλειο τετράγωνο, θα είναι και ο καθένας τους τέλειο τετράγωνο. Οπότε $x=a^2, \, 6x+1=b^2$ , και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

Είναι τέλειο τετράγωνο

Είναι τέλειο τετράγωνο

Re: Είναι τέλειο τετράγωνο

Re: Είναι τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση