Ανισότητα με ακεραίους

#1

Οι θετικοί ακέραιοι

και

είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\frac{a}{b} > \sqrt2}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{a}{b} - \frac{1}{2ab} > \sqrt2.}$

#2

socrates έγραψε: ↑
Παρ Απρ 04, 2025 3:01 am
Οι θετικοί ακέραιοι και είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\frac{a}{b} > \sqrt2}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{a}{b} - \frac{1}{2ab} > \sqrt2.}$

.
Από την πρώτη με ύψωση στο τετράγωνο έχουμε a^2-2b^2>0

. Αλλά το αριστερό μέλος είναι ακέραιος, οπότε $a^2-2b^2\ge 1$ . Διαιρούμε τώρα με το 2ab

οπότε η προηγούμενη γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{ \dfrac {a} {2b} - \dfrac {b} {a} \ge \dfrac {1} {2ab} }$ . Άρα

$\displaystyle{\frac{a}{b} - \dfrac{1}{2ab} \ge \dfrac {b} {a} + \dfrac {a} {2b} \ge ^{AM-GM} 2 \sqrt {\dfrac {b} {a} \cdot \dfrac {a} {2b} }=\sqrt 2}$

Με άλλα λόγια, δείξαμε ότι $\displaystyle{\frac{a}{b} - \dfrac{1}{2ab} \ge \sqrt 2}$ . Όμως δεν μπορεί να ισχύει η ισότητα γιατί το αριστερό μέλος είναι ρητός και το δεξί, άρρητος. Τελικά έχουμε το ζητούμενο,

$\displaystyle{\frac{a}{b} - \dfrac{1}{2ab} > \sqrt 2}$

Ανισότητα με ακεραίους

Ανισότητα με ακεραίους

Re: Ανισότητα με ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση