Τετράγωνα σε ορθογώνιο

#1

Τοποθετούνται αυθαίρετα 120

μοναδιαία τετράγωνα μέσα σε ένα ορθογώνιο διαστάσεων $20 \times 25$ .

Να δειχθεί ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε μέσα στο ορθογώνιο έναν κύκλο διαμέτρου

ο οποίος να μην τέμνει κανένα από τα τετράγωνα.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1961

[Το έβαλα στους Juniors μιας και τέτοιες ασκήσεις φαίνεται να αρέσουν στην JBMO.]

#2

Demetres έγραψε:Τοποθετούνται αυθαίρετα μοναδιαία τετράγωνα μέσα σε ένα ορθογώνιο διαστάσεων $20 \times 25$ .

Να δειχθεί ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε μέσα στο ορθογώνιο έναν κύκλο διαμέτρου ο οποίος να μην τέμνει κανένα από τα τετράγωνα.

Πηγή: Σοβιετική Ένωση 1961

[Το έβαλα στους Juniors μιας και τέτοιες ασκήσεις φαίνεται να αρέσουν στην JBMO.]

Για να υπάρχει τέτοιος κύκλος, θα πρέπει να υπάρχει σημείο, του μεγάλου ορθογωνίου που να απέχει από την περίμετρο του κάθε τετραγώνου απόσταση μεγαλύτερη του $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ .
[attachment=0]Graphic1.jpg[/attachment]
Έστω δεν υπάρχει τέτοιος κύκλος. Αυτό σημαίνει ότι αν «φουσκώσουμε» κατά $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ περιμετρικά όλα τα τετράγωνα τότε θα καλύψουμε όλο το εξωτερικό ορθογώνιο, ελαττωμένο κατά $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ περιμετρικά ώστε ο κύκλος να είναι μέσα. Δηλαδή $\displaystyle{120 \cdot \left( {3 + \frac{\pi }{4}} \right) > 455 \Rightarrow .. \Rightarrow 6\pi > 19 \Rightarrow \pi > \frac{{19}}{6} = 3,1666}$ που είναι άτοπο.

Τετράγωνα σε ορθογώνιο

Τετράγωνα σε ορθογώνιο

Re: Τετράγωνα σε ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση