Πρόβλημα με πίνακα !

[socrates]

Σε κάθε κελί ενός πίνακα γράφουμε έναν από τους αριθμούς ή Θεωρούμε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή και στήλη. Πόσοι το πολύ από τους αυτούς αριθμούς μπορεί να είναι διαφορετικοί;

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Επειδή τα αθροίσματα των αριθμών σε κάθε στήλη και γραμμή προκύπτουν από το άθροισμα των αριθμών ή και είναι το πολύ κελιών, οι αριθμοί που μπορούν να προκύψουν είναι από το έως το , δηλαδή το πολύ διαφορετικοί αριθμοί.

Θα αποδείξουμε πως δεν μπορούν να τοποθετηθούν και οι στον πίνακα. Αν γινόταν, θα έπρεπε το και να προκύψει από το άθροισμα των αριθμών γραμμής, καθώς οι στήλες έχουν κελιά. Με αυτόν τον τρόπο το δεν θα μπορούσε να προκύψει από άθροισμα αριθμών στήλης, αφού κάθε στήλη περιέχει τουλάχιστον ένα . Άρα θα έπρεπε να προκύψει από το άθροισμα των αριθμών στην τελευταία διαθέσιμη γραμμή, δηλαδή όλοι οι αριθμοί αυτης της γραμμής θα είναι . Όμως όλοι οι υπόλοιποι αριθμοί θα έπρεπε να προκύψουν σαν άθροισμα αριθμών στήλης. Επειδή κάθε στήλη έχει κελιά, στην περίπτωση του αριθμού , θα έπρεπε να υπάρχει μια στήλη που όλα τα κελιά να ήταν . Δηλαδή κάθε γραμμή να περιέχει τουλάχιστον ένα , που δεν γίνεται γιατί υπάρχει γραμμή που όλοι οι αριθμοί είναι . Άρα δεν γίνεται να προκύψουν και οι διαφορετικοί αριθμοί.

Ο μέγιστος αριθμός αθροισμάτων είναι το και μπορεί να προκύψει με πολλούς τρόπους, ένας από τους οποίους είναι ο εξής:



Στο παράδειγμα αυτό έχουμε τα αθροίσματα: και .

[socrates]