Υπερανισότητα

KARKAR · #21

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 4:01 pm
Ας δούμε και το ανάποδο πρόβλημα.

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .
Ποια είναι η μικρότερη δυνατή σταθερά , για την οποία ισχύει $(ma^2+b^2)^2 \ge 16a^3b$ ,

για όλους τους θετικούς ;

( Στα παραπάνω ήδη υπάρχει αυτή η σταθερά, αλλά όχι ως προς το ερώτημα αν είναι η βέλτιστη ) .

Ακολουθώντας την πεπατημένη : Με πράξεις και θέτοντας $\dfrac{a}{b}=x$ , θέλουμε :

$m^2x^4-16x^3+2mx^2+1\geq 0 , \forall x>0$ . Ισοδύναμα : $\dfrac{4x\sqrt{x}-1}{x^2}\leq m$ ,

δηλαδή το

είναι το μέγιστο της συνάρτησης : $g(x)=\dfrac{4x\sqrt{x}-1}{x^2} , x>0$ , που

εύκολα διαπιστώνουμε ότι είναι το m=3

και επιτυγχάνεται για : x=1

#22

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 16, 2020 4:01 pm
Ας δούμε και το ανάποδο πρόβλημα.

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2020 2:26 pm
Δείξτε ότι για τους θετικούς , ισχύει : .
Ποια είναι η μικρότερη δυνατή σταθερά στην θέση του ; Δηλαδή, ποια είναι η μικρότερη δυνατή
σταθερά για την οποία ισχύει $(Ma^2+b^2)^2 \ge 16a^3b$ για όλους τους θετικούς ;

(Στα παραπάνω ήδη υπάρχει αυτή η σταθερά, αλλά όχι ως προς το ερώτημα αν είναι η βέλτιστη).

Ας το δούμε και χωρίς Απειροστικό, με επιχείρημα που το είδαμε ήδη στα προηγούμενα.

Έχουμε

$\left (Ma^2+b^2\right )^2=\left (\dfrac{M}{3}a^2+\dfrac{M}{3}a^2+\dfrac{M}{3}a^2+b^2\right )^2\geq \left (4\sqrt[4]{\dfrac{M^3}{3^3}a^6b^2} \right )^2=16\sqrt{\dfrac{M^3}{3^3}}a^3b$

με ισότητα για $\,\dfrac{M}{3}a^2=b^2$ . Άρα το ζητούμενο ανάγεται στην εύρεση του μικρότερου

με

$\displaystyle{16\sqrt{\dfrac{M^3}{3^3}}a^3b \ge 16a^3b}$ , ισοδύναμα $M^3\ge 3^3$ . Τελικά, M=3

APOSTOLAKIS · #23

Διαιρούμε με $a^{4}$ τότε $\left [ 8+\left ( \frac{b}{a} \right )^{2} \right ]^{2}>16\left ( \frac{b}{a} \right )$
$\Leftrightarrow 8+\left ( \frac{b}{a} \right )^{2}>4\sqrt{\frac{b}{a}}$ . Θέτουμε $x=\frac{b}{a}, x>0$ , τότε η ανισότητα γράφεται
$8+x^{2}>4\sqrt{x}$ και θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=x^{2}-4\sqrt{x}+8, x>0$ που είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty )$ με
$f{}'(x)=2x-\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{2x\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$ . Για 0<x<1

είναι

και για

είναι

, άρα στο

παρουσιάζει ελάχιστο το f(1)=5

, οπότε $f(x)\geq 5>0$ .
Για την ελάχιστη τιμή του

, ομοίως αρκεί $1-4+M\geqslant 0\Leftrightarrow M \geq 3$
N. Z. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Re: Υπερανισότητα

Μέλη σε σύνδεση