Υπολογισμός γινομένου

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Υποθέτω ότι επειδή είναι στον φάκελο Θαλή/Ευκλείδη υπάρχει κάτι απλούστερο, αλλά γράφω τη λύση που σκέφτηκα με το που είδα το πρόβλημα.

Το ζητούμενο είναι το

$\displaystyle{M=\prod_{k=0}^{14}\sin a_k}$ , όπου $\displaystyle{a_k=\frac{(6k+1)\pi}{45}}$ .

Ας είναι $\displaystyle{x_k=\cos a_k+i\sin a_k,}$ οπότε $\displaystyle{x_k ^{15}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Εύκολα είναι $\displaystyle{\sin a_k=\frac{x_k ^2-1}{2ix_k}}$ , οπότε ψάχνουμε το

$\displaystyle{\left(\frac{1}{2i}\right)^{15}\prod_{k=0}^{14}\frac{x_k ^2-1}{x_k}}$ .

Το γινόμενο των παρονομαστών είναι από Vieta $\displaystyle{\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.}$

Ας είναι τώρα $\displaystyle{P(x)=x^{15}-\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{14})}$ , οπότε εύκολα βρίσκουμε

$\displaystyle{\prod_{k=0}^{14}(x_k ^2-1)=P(1)P(-1)= \cdots =-\frac{3}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}.}$

Τελικά βρίσκω ότι το ζητούμενο ισούται με $\displaystyle{\frac{-\sqrt{3}}{2^{15}}.}$

Υπολογισμός γινομένου

Υπολογισμός γινομένου

Re: Υπολογισμός γινομένου

Μέλη σε σύνδεση