Δύο εξισώσεις

M.S.Vovos · #1

1) Να βρεθούν όλες οι τριάδες θετικών ακεραίων x,y,z

τέτοιες ώστε:
$\displaystyle{x^{y}+y^{x}+x^{z}=2xyz}$ 2) Να βρεθούν όλες οι τριάδες θετικών ακεραίων x,y,z

τέτοιες ώστε:
$\displaystyle{x^{y}+y^{z}+z^{x}=3xyz}$ Φιλικά.

sot arm · #2

Καλησπέρα, μια λύση.
Μάλλον απλή για seniors, θα χρησιμοποιήσουμε ανισότητες, αρχικά είναι από AM-ΓΜ:
$\displaystyle{x^{y}+y^{z}+z^{x}\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}\Rightarrow 2xyz\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}}$
προφανώς αδύνατη αφού:
$\displaystyle{x,y,z\geq 1\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\geq 1 \Leftrightarrow \frac{x+y+z}{3}-1\geq 0\Leftrightarrow (xyz)^{\frac{x+y+z}{3}-1}\geq 1>\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}>2xyz}$
Άρα η 1 είναι αδύνατη ενώ παρόμοια για την 2 θέλουμε ισότητα παντού άρα:
$\displaystyle{x=y=z=1}$

Γιάννης Μπόρμπας · #3

sot arm έγραψε:Καλησπέρα, μια λύση.
Μάλλον απλή για seniors, θα χρησιμοποιήσουμε ανισότητες, αρχικά είναι από AM-ΓΜ:
$\displaystyle{x^{y}+y^{z}+z^{x}\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}\Rightarrow 2xyz\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}}$
προφανώς αδύνατη αφού:
$\displaystyle{x,y,z\geq 1\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\geq 1 \Leftrightarrow \frac{x+y+z}{3}-1\geq 0\Leftrightarrow (xyz)^{\frac{x+y+z}{3}-1}\geq 1>\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}>2xyz}$
Άρα η 1 είναι αδύνατη ενώ παρόμοια για την 2 θέλουμε ισότητα παντού άρα:
$\displaystyle{x=y=z=1}$

Η δεύτερη έχει λύση την x=y=z=3

sot arm · #4

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:
sot arm έγραψε:Καλησπέρα, μια λύση.
Μάλλον απλή για seniors, θα χρησιμοποιήσουμε ανισότητες, αρχικά είναι από AM-ΓΜ:
$\displaystyle{x^{y}+y^{z}+z^{x}\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}\Rightarrow 2xyz\geq 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}}$
προφανώς αδύνατη αφού:
$\displaystyle{x,y,z\geq 1\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\geq 1 \Leftrightarrow \frac{x+y+z}{3}-1\geq 0\Leftrightarrow (xyz)^{\frac{x+y+z}{3}-1}\geq 1>\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3(xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}>2xyz}$
Άρα η 1 είναι αδύνατη ενώ παρόμοια για την 2 θέλουμε ισότητα παντού άρα:
$\displaystyle{x=y=z=1}$
Η δεύτερη έχει λύση την

Μισό να δω αν σώζεται το πράγμα
Υ.Γ το ξαναείδα έχω κάνει χονδροειδές λάθος, ζητώ συγγνώμη

Δύο εξισώσεις

Δύο εξισώσεις

Re: Δύο εξισώσεις

Re: Δύο εξισώσεις

Re: Δύο εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση