Εκθετικό-ρητή ανίσωση

Al.Koutsouridis

Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \dfrac{4^{-\left | x-2 \right |}}{\sqrt{x^2-x-2} +2} \leq \dfrac{2^{1-\left | x \right |}}{\sqrt{x^2+6x} +4}$

maiksoul

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 23, 2018 4:35 pm
Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle \dfrac{4^{-\left | x-2 \right |}}{\sqrt{x^2-x-2} +2} \leq \dfrac{2^{1-\left | x \right |}}{\sqrt{x^2+6x} +4}$

Η ανίσωση ορίζεται όταν $x\in(-\infty ,-6]\cup [2,+\infty ]$ και τότε γράφεται:

$2^{\left | x \right |-2\cdot \left | x-2 \right |-1}\leq \frac{\sqrt{x^2-x-2}+2}{\sqrt{x^2+6x}+4}$

$2^{\left | x \right |-2\cdot \left | x-2 \right |}\leq \frac{2\sqrt{x^2-x-2}+4}{\sqrt{x^2+6x}+4}$

$2^{\left | x \right |-2\cdot \left | x-2 \right |}-1\leq \frac{2\sqrt{x^2-x-2}-\sqrt{x^2+6x} }{\sqrt{x^2+6x}+4}$

$2^{\left | x \right |-2\cdot \left | x-2 \right |}-1\leq\frac{(x-4)(3x+2) }{(2\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x^2+6x})(\sqrt{x^2+6x}+4)} (\bigstar )$

$\bullet$ Αν $x\leq -6$ τότε $\left | x-2 \right |=2-x....\left | x \right |=-x$ και η $(\bigstar )$ γίνεται

$2^{x-4}-1\leq \frac{(x-4)(3x+2) }{(2\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x^2+6x})(\sqrt{x^2+6x}+4)}$ η οποία αληθεύει,
διότι το αριστερό μέλος είναι μη θετικό ενώ το δεξί είναι μη αρνητικό.Επομένως κάθε $x\in(-\infty ,-6]$ είναι λύση της ανίσωσης.

$\bullet$ Αν $x\geq 2$ τότε $\left | x-2 \right |=x-2....\left | x \right |=x$ και η $(\bigstar )$ γίνεται

$2^{4-x}-1\leq \frac{(x-4)(3x+2) }{(2\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x^2+6x})(\sqrt{x^2+6x}+4)}$

η τελευταία έχει λύσεις τα $x\in [4,+\infty ]$

Eπομένως συνολικά, λύση είναι κάθε $x\in (-\infty ,-6]\cup [4,+\infty ]$

Al.Koutsouridis

Ωραία κίνηση η αφαίρεση του

και από τα δυο μέλη την ανίσωσης

.

Εκθετικό-ρητή ανίσωση

Εκθετικό-ρητή ανίσωση

Re: Εκθετικό-ρητή ανίσωση

Re: Εκθετικό-ρητή ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση