Εκθετικό-ρητή ανίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Εκθετικό-ρητή ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Αύγ 23, 2018 4:35 pm

Να λύσετε την ανίσωση

\displaystyle \dfrac{4^{-\left | x-2 \right |}}{\sqrt{x^2-x-2} +2} \leq \dfrac{2^{1-\left | x \right |}}{\sqrt{x^2+6x} +4}



Λέξεις Κλειδιά:
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 607
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Εκθετικό-ρητή ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Παρ Αύγ 24, 2018 4:21 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Αύγ 23, 2018 4:35 pm
Να λύσετε την ανίσωση

\displaystyle \dfrac{4^{-\left | x-2 \right |}}{\sqrt{x^2-x-2} +2} \leq \dfrac{2^{1-\left | x \right |}}{\sqrt{x^2+6x} +4}
Η ανίσωση ορίζεται όταν x\in(-\infty ,-6]\cup [2,+\infty ] 
και τότε γράφεται:

2^{\left | x \right |-2\cdot \left | x-2 \right |-1}\leq \frac{\sqrt{x^2-x-2}+2}{\sqrt{x^2+6x}+4}

2^{\left | x \right |-2\cdot \left | x-2 \right |}\leq \frac{2\sqrt{x^2-x-2}+4}{\sqrt{x^2+6x}+4}

2^{\left | x \right |-2\cdot \left | x-2 \right |}-1\leq \frac{2\sqrt{x^2-x-2}-\sqrt{x^2+6x} }{\sqrt{x^2+6x}+4}

2^{\left | x \right |-2\cdot \left | x-2 \right |}-1\leq\frac{(x-4)(3x+2) }{(2\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x^2+6x})(\sqrt{x^2+6x}+4)} (\bigstar )

\bullet Αν x\leq -6 τότε \left | x-2 \right |=2-x....\left | x \right |=-x 
και η (\bigstar ) γίνεται

2^{x-4}-1\leq \frac{(x-4)(3x+2) }{(2\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x^2+6x})(\sqrt{x^2+6x}+4)}  
η οποία αληθεύει,
διότι το αριστερό μέλος είναι μη θετικό ενώ το δεξί είναι μη αρνητικό.Επομένως κάθε x\in(-\infty ,-6] είναι λύση της ανίσωσης.

\bullet Αν x\geq 2 τότε \left | x-2 \right |=x-2....\left | x \right |=x 
και η (\bigstar ) γίνεται

2^{4-x}-1\leq \frac{(x-4)(3x+2) }{(2\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x^2+6x})(\sqrt{x^2+6x}+4)}

η τελευταία έχει λύσεις τα  x\in  [4,+\infty ]

Eπομένως συνολικά, λύση είναι κάθε x\in (-\infty ,-6]\cup [4,+\infty ]


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 993
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εκθετικό-ρητή ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Αύγ 25, 2018 11:02 am

Ωραία κίνηση η αφαίρεση του 1 και από τα δυο μέλη την ανίσωσης :coolspeak:.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: llenny και 1 επισκέπτης