Σύνολο τιμών

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σύνολο τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Απρ 20, 2019 11:12 am

Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου k>2 , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :

f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k} . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8489
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύνολο τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 20, 2019 12:13 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 11:12 am
Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου k>2 , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :

f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k} . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους .
Έστω \displaystyle f(x) = y \Leftrightarrow (2y - 1){x^2} + 2(2y - 1)x + ky - 2 = 0

\displaystyle  \bullet Αν y=\dfrac{1}{2}, τότε k=4.

\displaystyle  \bullet Αν y\ne \dfrac{1}{2}, τότε η παραπάνω εξίσωση είναι δευτεροβάθμια ως προς x και για να έχει πραγματικές λύσεις θα πρέπει \Delta\ge 0.

\displaystyle \Delta  = 4{(2y - 1)^2} - 4(2y - 1)(ky - 2) = 4(2y - 1)\left( {(2 - k)y + 1} \right) \ge 0

Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι ποιο από τα \displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{{k - 2}} είναι το μεγαλύτερο. Έτσι έχουμε:

\displaystyle  \bullet Αν 2<k<4, το σύνολο τιμών είναι \displaystyle \left( {\frac{1}{2},\frac{1}{{k - 2}}} \right]

\displaystyle  \bullet Αν k>4, το σύνολο τιμών είναι \displaystyle \left[ {\frac{1}{{k - 2}},\frac{1}{2}} \right)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύνολο τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 20, 2019 12:28 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 11:12 am
Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου k>2 , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :

f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k} . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους .
Ας προσθέσω ότι η ωραία αυτή τεχνική με διακρίνουσα ήταν στάνταρ ύλη στα παλαιότερα σχολικά βιβλία. Π.χ. στο βιβλίο των Βαρουχάκη et al της δεκαετίας 1985-1995 η παραπάνω άσκηση είναι καλομελετημένη, όπως επίσης και στα αντίστοιχα φροντιστηριακά της εποχής. Πάνε αυτά σήμερα...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8489
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σύνολο τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 20, 2019 2:05 pm

Να συμπληρώσω απλώς σε αυτά που γράφει ο Μιχάλης, ότι η τεχνική αυτή αναφέρεται και στο βιβλίο του

Πέτρου Γ. Τόγκα, ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ- Β ΤΟΜΟΣ (Έκδοση 1959).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύνολο τιμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 20, 2019 3:43 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 11:12 am
Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου k>2 , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :

f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k} . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους .

f(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{4-k}{4((x+1)^{2}+\frac{k-2}{2})}

και δεν χρειάζεται θεωρία τριωνύμου αφού την έχουμε βάλει μέσα .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης