Σύνολο τιμών

KARKAR · #1

Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου k>2

, βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :

$f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k}$ . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 11:12 am
Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :

$f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k}$ . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους .

Έστω $\displaystyle f(x) = y \Leftrightarrow (2y - 1){x^2} + 2(2y - 1)x + ky - 2 = 0$

$\displaystyle \bullet$ Αν $y=\dfrac{1}{2},$ τότε k=4.

$\displaystyle \bullet$ Αν $y\ne \dfrac{1}{2},$ τότε η παραπάνω εξίσωση είναι δευτεροβάθμια ως προς

και για να έχει πραγματικές λύσεις θα πρέπει $\Delta\ge 0.$

$\displaystyle \Delta = 4{(2y - 1)^2} - 4(2y - 1)(ky - 2) = 4(2y - 1)\left( {(2 - k)y + 1} \right) \ge 0$

Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι ποιο από τα $\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{{k - 2}}$ είναι το μεγαλύτερο. Έτσι έχουμε:

$\displaystyle \bullet$ Αν 2<k<4,

το σύνολο τιμών είναι $\displaystyle \left( {\frac{1}{2},\frac{1}{{k - 2}}} \right]$

$\displaystyle \bullet$ Αν k>4,

το σύνολο τιμών είναι $\displaystyle \left[ {\frac{1}{{k - 2}},\frac{1}{2}} \right)$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 11:12 am
Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :

$f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k}$ . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους .

Ας προσθέσω ότι η ωραία αυτή τεχνική με διακρίνουσα ήταν στάνταρ ύλη στα παλαιότερα σχολικά βιβλία. Π.χ. στο βιβλίο των Βαρουχάκη et al της δεκαετίας 1985-1995 η παραπάνω άσκηση είναι καλομελετημένη, όπως επίσης και στα αντίστοιχα φροντιστηριακά της εποχής. Πάνε αυτά σήμερα...

#4

Να συμπληρώσω απλώς σε αυτά που γράφει ο Μιχάλης, ότι η τεχνική αυτή αναφέρεται και στο βιβλίο του

Πέτρου Γ. Τόγκα, ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ- Β ΤΟΜΟΣ (Έκδοση 1959).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 11:12 am
Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης :

$f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k}$ . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους .

$f(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{4-k}{4((x+1)^{2}+\frac{k-2}{2})}$

και δεν χρειάζεται θεωρία τριωνύμου αφού την έχουμε βάλει μέσα .

Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση