Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιαν 09, 2021 2:44 pm

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

|2x-y-1| + |x+y| +|y|,

όπου x,y πραγματικοί αριθμοί.


Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 2007.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Ιαν 10, 2021 11:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6297
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Ιαν 09, 2021 7:49 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 2:44 pm
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

|2x-y-1| + |x+y| +|y|,

όπου x,y πραγματικοί αριθμοί.
Ας είναι \displaystyle{K=|2x-y-1| + |x+y| +|y|.}

Επειδή \displaystyle{|2x-y-1|+|y|\geq |2x-y-1-y|=|2x-2y-1|}

έχουμε

\displaystyle{K\geq |2x-2y-1|+|x+y|. }

Από αυτήν προκύπτει \displaystyle{K\geq |3x-y-1|}, αλλά και \displaystyle{K\geq |x-3y-1|}, οπότε από αυτές έχουμε και τις

\displaystyle{2K\geq |4x-4y-2|}, αλλά και την \displaystyle{2K\geq |2x-2y|}, δηλαδή τις

\displaystyle{K\geq |2x-2y-1|} και \displaystyle{2K\geq |2x-2y|.}

Από αυτές προκύπτει \displaystyle{3K\geq 1\implies K\geq \frac{1}{3}.}

Η ισότητα πιάνεται για \displaystyle{x=\frac{1}{3},y=-\frac{1}{3}} άρα \displaystyle{\min K=\frac{1}{3}.}


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3324
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 09, 2021 9:19 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 2:44 pm
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

|2x-y-1| + |x+y| +|y|,

όπου x,y πραγματικοί αριθμοί.
Θέτουμε f(x,y)=|2x-y-1| + |x+y| +|y|

Αυτή είναι κυρτή συνάρτηση και τοπικά το γράφημα της μέρος επιπέδου.

Οι ευθείες 2x-y-1=0, x+y=0 ,y=0
τέμνονται στα

(0,0),(\frac{1}{2},0),(\frac{1}{3},-\frac{1}{3})

Σε ένα από αυτά παίρνει ελάχιστη τιμή.

Αφου
f((0,0))=1,f((\frac{1}{2},0))=\frac{1}{2},f((\frac{1}{3},-\frac{1}{3}))=\frac{1}{3}

η ελάχιστη τιμή είναι

f((\frac{1}{3},-\frac{1}{3}))=\frac{1}{3}


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1494
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ελάχιστη τιμή σε απόλυτα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Φεβ 16, 2021 4:11 pm

|2x-y-1| + |x+y| +|y|\geq \dfrac{1}{3}|2x-y-1|+\dfrac{2}{3}|x+y|+|y|\geq |\dfrac{1}{3}(2x-y-1)-\dfrac{2}{3}(x+y)+y|=\dfrac{1}{3}.

H ισότητα πιάνεται μόνο όταν 2x-y-1=x+y=0 δηλαδή όταν (x,y)=(\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{3}).


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης