Ρητές προσεγγίσεις της τετραγωνικής ρίζα του τρία

Al.Koutsouridis · #1

α) Υπάρχουν άραγε τέτοιοι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί

και

, ώστε να ικανοποιείται η ανίσωση $\left | \dfrac{m}{n} -\sqrt{3} \right | < \dfrac{1}{100}$ ;

β) Υπάρχουν άραγε τέτοιοι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί

και

, ώστε να ικανοποιείται η ανίσωση $\left | \dfrac{m^2}{n^2} -3 \right | < \dfrac{1}{10000}$ ;

γ) Να βρείτε τον φυσικό αριθμό

, για τον οποίο η έκφραση $\left | \dfrac{n+10}{n} -\sqrt{3} \right |$ λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της.

Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσίας, 2018.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 14, 2021 10:49 pm
α) Υπάρχουν άραγε τέτοιοι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί και , ώστε να ικανοποιείται η ανίσωση $\left | \dfrac{m}{n} -\sqrt{3} \right | < \dfrac{1}{100}$ ;

β) Υπάρχουν άραγε τέτοιοι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί και , ώστε να ικανοποιείται η ανίσωση $\left | \dfrac{m^2}{n^2} -3 \right | < \dfrac{1}{10000}$ ;

γ) Να βρείτε τον φυσικό αριθμό , για τον οποίο η έκφραση $\left | \dfrac{n+10}{n} -\sqrt{3} \right |$ λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της.

Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσίας, 2018.

α) Απάντηση: Ναι.

Αφού $\dfrac {173}{100} <\sqrt 3 < \dfrac {174}{100}$ και αφού τα δύο άκρα διαφέρουν κατά $\dfrac {1}{100}$ , κάθε κλάσμα μεταξύ τους διαφέρει από το $\sqrt 3$ λιγότερο $\dfrac {1}{100}$ . Κατάλληλο τέτοιο, με διψήφιους, είναι το $\dfrac {173}{100} <\dfrac {59}{34} < \dfrac {174}{100}$ .

β) Απάντηση: Όχι

Αφού ο $\sqrt 3$ είναι άρρητος, ο φυσικός αριθμός m^2-3n^2

είναι μη μηδενικός για όλους τους μη μηδενικούς m,n

, και ειδικά για τους διψήφιους. Έπεται ότι $|m^2-3n^2| \ge 1$ . Άρα

$\dfrac {1}{n^2} \le \dfrac{|m^2-3n^2|}{n^2} = \left | \dfrac{m^2}{n^2} -3 \right | < \dfrac{1}{10000}$ . Άρα n>100

, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι διψήφιος.

γ) Απάντηση: n=14

Αφού η $\dfrac{n+10}{n}$ είναι φθίνουσα, αρχίζοντας από την τιμή

και τείνει προς την

, κάποτε δύο διαδοχικές τιμές της θα είναι εκατέρωθεν της $\sqrt 3$ . Με μικρό έλεγχο διαπιστώνουμε ότι αυτό συμβάνει στα n=13

και

, δηλαδή ότι

$\displaystyle{ \dfrac{13+10}{13} > \sqrt 3 > \dfrac{14+10}{14} }$ (ισοδυναμέι με τις 1,76 > 1,73 > 1,71

). Πλησιέστερο είναι το δεξί.

Ρητές προσεγγίσεις της τετραγωνικής ρίζα του τρία

Ρητές προσεγγίσεις της τετραγωνικής ρίζα του τρία

Re: Ρητές προσεγγίσεις της τετραγωνικής ρίζα του τρία

Μέλη σε σύνδεση