Πολυωνυμική προσέγγιση

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε τουλάχιστον ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού $P_{3} \left ( x \right) = ax^3+bx^2+cx+d$ τέτοιο, ώστε να ικανοποιείται η ανίσωση

$\left | \dfrac{2x}{2-x}- P_{3} \left ( x \right) \right | < 0,02$

γαι όλα τα $x \in \left [ 0, \dfrac{1}{2} \right ]$ .

(Για Β',Γ' Λυκείου)

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Οικονομικού Τμήματος Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1970.

ksofsa · #2

Καλησπέρα.

Ισχύει

$\dfrac{2x}{2-x}=x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{4}+...+\dfrac{x^{n+1}}{2^n}+...$ (άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου).

Επιλέγουμε , λοιπόν , το πολυώνυμο $P_{3}(x)=x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{4}$

και διαπιστώνουμε ότι

$\left | \dfrac{2x}{2-x} -P_{3}(x)\right |=\left | \dfrac{x^4}{4(2-x)} \right |=\dfrac{x^4}{4(2-x)}\leq \dfrac{\dfrac{1}{2^4}}{4\cdot \dfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{96}< 0,02$ .

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 31, 2023 11:40 am
Να βρείτε τουλάχιστον ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού $P_{3} \left ( x \right) = ax^3+bx^2+cx+d$ τέτοιο, ώστε να ικανοποιείται η ανίσωση

$\left | \dfrac{2x}{2-x}- P_{3} \left ( x \right) \right | < 0,02$

γαι όλα τα $x \in \left [ 0, \dfrac{1}{2} \right ]$ .

Αλλιώς για να γλιτώσουμε τα απειροαθροίσματα (αν και η πρώτη μου λύση 'ήταν ίδια με την προηγούμενη, με απειροάθροισμα).

Έχουμε για $x \in \left [ 0, \dfrac{1}{2} \right ]$ ότι $|2-x|\ge \frac {3}{2}$ . Άρα

$\left | \dfrac{2x}{2-x}- P_{3} \left ( x \right) \right | = \dfrac{|2x- (2-x) P_{3}(x)|}{|2-x|} \le \dfrac {2}{3} \left |2x- (2-x) P_{3}(x) \right | =$

$= \dfrac {2}{3} \left |ax^4+(b-2a) x^3+ (c-2b) x^2+(d-2c+2) x-2d \right |$

Kοιτώντας τώρα την παράσταση από το τέλος στην αρχή επιλέγουμε α) d=0

(μηδενίστηκε ο σταθερός όρος). β) Για αυτό το

επιλέγουμε το

ώστε

. Δηλαδή

, οπότε μηδενίστηκε και ο πρωτοβάθμιος όρος. γ) Μηδενίζουμε τον συντελεστή του x^2

παίρνοντας b=c/2=1/2

. δ) Μηδενίζουμε τον συντελεστή του x^3

παίρνοντας a=b/2=1/4

.

H παράσταση είναι τώρα $\dfrac {2}{3} \left |\frac {1}{4} x^4+ 0+0+0+0\right | \le \dfrac {2}{3} \left |\dfrac {1}{4} \left ( \dfrac {1}{2} \right ) ^4 \right |= \dfrac {1}{96} <0,02$

Al.Koutsouridis · #4

ksofsa έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 31, 2023 1:12 pm

$\left | \dfrac{2x}{2-x} -P_{3}(x)\right |=\left | \dfrac{x^4}{4(2-x)} \right |=\dfrac{x^4}{4(2-x)}\leq \dfrac{\dfrac{1}{2^4}}{4\cdot \dfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{96}< 0,02$ .

Καλησπέρα! Νομίζω θέλει λίγο πιο αναλυτικά σε αυτό το σημείο, π.χ. η πρώτη ισότητα πως προκύπτει;

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 31, 2023 8:44 pm

ksofsa έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 31, 2023 1:12 pm

$\left | \dfrac{2x}{2-x} -P_{3}(x)\right |=\left | \dfrac{x^4}{4(2-x)} \right |=\dfrac{x^4}{4(2-x)}\leq \dfrac{\dfrac{1}{2^4}}{4\cdot \dfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{96}< 0,02$ .
Καλησπέρα! Νομίζω θέλει λίγο πιο αναλυτικά σε αυτό το σημείο, π.χ. η πρώτη ισότητα πως προκύπτει;

Αλέξανδρε, επειδή βλέπω ότι ο Κώστας δεν είναι συνδεδεμένος, παίρνω την πρωτοβουλία να απαντήσω.

Η ισότητα είναι άμεση. Προκύπτει από την απλοποίηση του

$\left | \dfrac{2x}{2-x} -P_{3}(x)\right |= \left | \dfrac{2x}{2-x} -x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{4}\right |= \left | \dfrac{2x- (2-x)\left ( x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{4} \right ) }{2-x} \right | = \left | \dfrac{x^4}{4(2-x)} \right |$ .

Al.Koutsouridis · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 31, 2023 9:59 pm
Αλέξανδρε, επειδή βλέπω ότι ο Κώστας δεν είναι συνδεδεμένος, παίρνω την πρωτοβουλία να απαντήσω.

Η ισότητα είναι άμεση. Προκύπτει από την απλοποίηση του

$\left | \dfrac{2x}{2-x} -P_{3}(x)\right |= \left | \dfrac{2x}{2-x} -x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{4}\right |= \left | \dfrac{2x- (2-x)\left ( x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{4} \right ) }{2-x} \right | = \left | \dfrac{x^4}{4(2-x)} \right |$ .

Σωστά! Έκανα εγώ, λάθος στις πράξεις μου

Η ανισότητα πάλι δεν μου είναι καθαρό πως προέκυψε. Λύθηκε η ανισότητα, θεωρήσαμε ότι η συνάρτηση στο πρώτο μέλος είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα που μας ενδιαφέρει;

#7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 31, 2023 10:04 pm
... Η ανισότητα πάλι δεν μου είναι καθαρό πως προέκυψε. Λύθηκε η ανισότητα, θεωρήσαμε ότι η συνάρτηση στο πρώτο μέλος είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα που μας ενδιαφέρει;

Όχι, δεν προέκυψε από μελέτη συνάρτησης, αλλά πιο απλά: Κάνουμε εκτίμηση προς τα πάνω χωριστά του αριθμητή και χωριστά του παρονομαστή. Συγκεκριμένα στο $\dfrac{x^4}{4(2-x)}$

α) το μεν x^4

είναι στο διάστημα που μας ενδιαφέρει $\le \left ( \dfrac {1}{2} \right ) ^4$ . Επίσης,

β) Αφού $2-x \ge 2 - \dfrac {1}{2} = \dfrac {3}{2}$ , έχουμε $\,\, \dfrac{1}{4(2-x)} \le \dfrac {1}{ 4 \cdot \dfrac {3}{2} }$

Και τώρα πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη.

ksofsa · #8

Καλό μήνα!

Ο κύριος Λάμπρου με κάλυψε απόλυτα με τις απαντήσεις του και τον ευχαριστώ. Να σχολιάσω , μιας και έγινε αναφορά στην πρώτη ισότητα, ότι μπορεί να προκύψει και ως εξής:

$\dfrac{2x}{2-x}-P_{3}(x)=\dfrac{x^4}{8}+\dfrac{x^5}{16}+...+\dfrac{x^{n+1}}{2^n}+...=\dfrac{x^3}{8}(x+\dfrac{x^2}{2}+...+\dfrac{x^{n+1}}{2^n}+...)=\dfrac{x^3}{8}(\dfrac{2x}{2-x})=\dfrac{x^4}{4(2-x)}$ (τοποθετώντας σε απόλυτα, παίρνουμε ακριβώς την πρώτη ισότητα).

Πολυωνυμική προσέγγιση

Πολυωνυμική προσέγγιση

Re: Πολυωνυμική προσέγγιση

Re: Πολυωνυμική προσέγγιση

Re: Πολυωνυμική προσέγγιση

Re: Πολυωνυμική προσέγγιση

Re: Πολυωνυμική προσέγγιση

Re: Πολυωνυμική προσέγγιση

Re: Πολυωνυμική προσέγγιση

Μέλη σε σύνδεση