Μία ακολουθία

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2023 10:23 am
Της ακολουθίας $49,\,\,4489,\,\,444889,\,\,\ldots$ κάθε όρος σχηματίζεται αν παρεμβάλουμε

το στο μέσο των ψηφίων του προηγούμενου όρου. Να βρεθεί ο γενικός όρος της

ακολουθίας ως συνάρτηση της τάξης του, να δειχθεί ότι οι όροι της ακολουθίας είναι

τέλεια τετράγωνα και να υπολογιστεί το άθροισμα των πρώτων όρων.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Ας δούμε τη λύση. Για τους τρεις πρώτους όρους παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle {a_1} = 49 = 4 \cdot 10 + 9,{a_2} = 4489 = 4\left( {{{10}^3} + {{10}^2}} \right) + 8 \cdot 10 + 9$

$\displaystyle {a_3} = 444889 = 4\left( {{{10}^5} + {{10}^4} + {{10}^3}} \right) + 8\left( {{{10}^2} + 10} \right) + 9$

Άρα, $\displaystyle {a_n} = 4\left( {{{10}^{2n - 1}} + {{10}^{2n - 2}} + ... + {{10}^n}} \right) + 8\left( {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10} \right) + 9$

Η καθεμία από τις δύο παρενθέσεις είναι άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου. Οπότε ο νιοστός όρος γράφεται:

$\displaystyle {a_n} = \frac{{4 \cdot {{10}^n}\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} + \frac{{8 \cdot 10\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right)}}{9} + 9\[ \Leftrightarrow$ $\boxed{{a_n} = \frac{{4 \cdot {{10}^{2n}} + 4 \cdot {{10}^n} + 1}}{9}}$

Προφανώς, $\displaystyle {a_n} = {\left( {\frac{{2 \cdot {{10}^n} + 1}}{3}} \right)^2}$ που σημαίνει ότι οι όροι της ακολουθίας είναι τέλεια τετράγωνα.

$\displaystyle {S_n} = \frac{{4 \cdot {{10}^2} + 4 \cdot 10 + 1}}{9} + \frac{{4 \cdot {{10}^4} + 4 \cdot {{10}^2} + 1}}{9} + ... + \frac{{4 \cdot {{10}^{2n}} + 4 \cdot {{10}^n} + 1}}{9}$

$\displaystyle {S_n} = \frac{4}{9}\left( {{{10}^2} + {{10}^4} + ... + {{10}^{2n}}} \right) + \frac{4}{9}\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^n}} \right) + \frac{n}{9}$

$\displaystyle {S_n} = \frac{{400}}{{891}}\left( {{{10}^{2n}} - 1} \right) + \frac{{40}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) + \frac{n}{9} \Leftrightarrow$ $\boxed{{S_n} = \frac{{40}}{{891}}\left( {{{10}^n} - 1} \right)\left( {{{10}^n} + 21} \right) + \frac{n}{9}}$

Μία ακολουθία

Μία ακολουθία

Re: Μία ακολουθία

Re: Μία ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση