Πολλά τα εννιά

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 08, 2023 9:10 pm
Να δειχθεί ότι ο κύβος του $\underbrace{999\,\cdots \,9}_{n}$ βρίσκεται γράφοντας $n-1\,\,\,$ εννέα, μετά τον ,

έπειτα $n-1\,\,\,$ μηδενικά , κατόπιν τον $2\,\,\,$ και τέλος $n\,\,\,$ εννέα.

Έχουμε:

$\displaystyle{999...9^3 =(10^n -1)^3 =10^{3n}-3.10^{2n}+3.10^n -1 =(10^{3n}-1) - 3.10^n .(10^n -1)=}$

$\displaystyle{999...999 - 3.10^n .999...9}$ , όπου το $\displaystyle{999...999}$ αποτελείται από $\displaystyle{3n}$ εννιάρια και το $\displaystyle{999...9}$ ,

αποτελείται από $\displaystyle{n}$ εννιάρια.

Άρα έχουμε: $\displaystyle{999...9^3 =999...999 - 2999...997 . 10^n}$ , όπου ανάμεσα στο $\displaystyle{2}$ και το $\displaystyle{7}$ υπάρχουν $\displaystyle{n-1}$ εννιάρια.

Στην παραπάνω λοιπόν αφαίρεση , ο μειωτέος έχει $\displaystyle{n-1}$ εννιάρια τα πρώτα του και ακολουθούν ακόμα $\displaystyle{2n+1}$ τα επόμενα

εννιάρια. Και ο αφαιρετέος, έχει σύνολο $\displaystyle{2n+1}$ ψηφία.

Κάνοντας τώρα (κάθετα) την αφαίρεση , βάζοντας κάτω από τα ψηφία $\displaystyle{9999...999}$ του μειωτέου (τα εννιάρια με πλήθος $\displaystyle{2n+1}$ )

τα ψηφία: $\displaystyle{2999...997000....0}$ του αφαιρετέου, (που είναι και αυτά στο πλήθος $\displaystyle{2n+1}$ ),

παίρνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα.

Πολλά τα εννιά

Πολλά τα εννιά

Re: Πολλά τα εννιά

Μέλη σε σύνδεση