Συνάρτηση και ανίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να λύσετε την ανίσωση

$| 66f(x)-90| \leq 24$ ,

αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση 3f(x)+x=4

έχει δυο ρίζες, το άθροισμα των οποίων είναι ίσο με $\dfrac{-2}{11}$ και η συνάρτηση f(x)

έχει την μορφή

$f(x)=\dfrac{1}{2^c} \left ( |x|^a + |x|^b\right)^c$ ,

όπου a,b,c

κάποιοι θετικοί αριθμοί.

(Για Γ' Λυκείου)

abgd · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 12, 2024 2:53 pm
Να λύσετε την ανίσωση

$| 66f(x)-90| \leq 24$ ,

αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες, το άθροισμα των οποίων είναι ίσο με $\dfrac{-2}{11}$ και η συνάρτηση έχει την μορφή

$f(x)=\dfrac{1}{2^c} \left ( |x|^a + |x|^b\right)^c$ ,

όπου κάποιοι θετικοί αριθμοί.

(Για Γ' Λυκείου)

Η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα $\displaystyle{1\leq f(x)\leq \frac{19}{11}}$

Μία ρίζα της εξίσωσης 3f(x)+x=4

είναι η

και συνεπώς η δεύτερη θα είναι η $x=-\dfrac{13}{11}$ .

Για τη συνάρτηση

είναι εύκολο να δείξουμε τα παρακάτω:

Είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, 0]$ και γνησίως αύξουσα στο $[0, +\infty)$

Είναι άρτια και

f(-1)=f(1)=1

και $f\left(-\dfrac{13}{11}\right) = f\left(\dfrac{13}{11}\right) =\dfrac{19}{11}$

Έτσι, η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{f(-1)\leq f(x)\leq f\left(-\dfrac{13}{11}\right), \ \ x\geq 0}$ και $\displaystyle{f(1)\leq f(x)\leq f\left(\dfrac{13}{11}\right), \ \ x<0}$

οπότε, λόγω της μονοτονίας

$x\in \left[-\dfrac{13}{11}, -1\right]\cup \left[1, \dfrac{13}{11}\right]$

Συνάρτηση και ανίσωση

Συνάρτηση και ανίσωση

Re: Συνάρτηση και ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση