Αδύνατη Ισότητα

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ · #1

Να αποδείξετε πως δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί a, b, c

ώστε

.

Γιώργος Νικολής · #2

Είσαι σίγουρος ότι είναι σωστή η εκφώνηση; Αντιθέτως, για α=1 , β=0 και γ:ακέραιο, παίρνουμε άπειρες λύσεις.

Fotis34 · #3

Και εγώ το παρατήρησα, αλλά λέω μήπως κάτι μου διαφεύγει.

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ · #4

Σας παραθέτω την εκφώνηση όπως την βρήκα.

: Θεωρία αριθμών.png (32.89 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές

Fotis34 · #5

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 23, 2026 8:10 pm
Σας παραθέτω την εκφώνηση όπως την βρήκα.Θεωρία αριθμών.png

Προφανώς τότε κάτι δεν πάει καλά με την εκφώνηση.

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ · #6

Πράγματι υπάρχει ασάφεια στην άσκηση. Έπρεπε να έγραφαν και "για $a, b, c \neq 0$ ".

#7

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 23, 2026 4:08 pm
Να αποδείξετε πως δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί ώστε .

Ενδιαφέρουσα εξίσωση με μόνη αλλαγή ότι παρακάτω λύνω την παραπάνω διοφαντική εξίσωση στο σύνολο των ακεραίων χωρίς περιορισμούς για τα a,b,c

καθώς υπάρχουν λύσεις της διοφαντικής όπως ήδη παρατήρησαν και άλλα μέλη παραπάνω.

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 23, 2026 8:25 pm
Πράγματι υπάρχει ασάφεια στην άσκηση. Έπρεπε να έγραφαν και "για $a, b, c \neq 0$ ".

Ακόμη και αυτό να έγραφαν, η άσκηση θα ήταν λάθος καθώς υπάρχουν άπειρες λύσεις με μη μηδενικά τα a,b,c

όπως φαίνεται στη λύση παρακάτω (π.χ. $(a,b,c)=(-3,6,2), \ (-8,24,2), ...$ )

Πάμε να δώσουμε τη λύση στους ακεραίους.

$\blacksquare$ Αν a=0

τότε

όπου $k\geq 1$ θετικός ακέραιος.

$\blacksquare$ Αν a=1

έχουμε

με

ακέραιο.

$\blacksquare$ Αν a>1

γράφουμε την εξίσωση ως a^c-a^3=b^2

.

Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις:

i) Αν c=3

τότε

άρα

, όπου το

ακέραιος.

ii) Αν c<3

τότε (αφού a>1

) η εξίσωση είναι αδύνατη.

iii) Αν c>3

:

Η εξίσωση γράφεται: $a^3\left(a^{c-3}-1\right)=b^2$ .

Αφού $\left(a^3, a^{c-3}-1\right)=1$ , άρα πρέπει οι αριθμοί $a^3, \ a^{c-3}-1$ να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων.

Έστω λοιπόν $a^{c-3}-1=m^2 \Leftrightarrow a^{c-3}-m^2=1$

$\bigstar$ Αν $c-3=1 \Leftrightarrow c=4$ τότε η εξίσωση γίνεται $a-m^2=1 \Rightarrow a=m^2+1$ που αντιβαίνει στο ότι το

πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.

$\bigstar$ Αν c-3>1

τότε η παραπάνω εξίσωση είναι εξίσωση Catalan άρα από το θεώρημα Mihailescu η μοναδική λύση της x^n-y^k=1

για

είναι η

. Αυτό σημαίνει ότι $a^{c-3}=9$ και m^2=8

, που είναι αδύνατον

$\blacksquare$ Αν a<0

, θέτω $a=-t, \ t \geq 1$ και η εξίσωση γίνεται (-t)^c-a^3=b^2

. Φανερά δε γίνεται το

να είναι αρνητικός ακέραιος.

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

i) Αν o

είναι περιττός με $c\geq 1$ , τότε η εξίσωση γράφεται: b^2=t^3-t^c

.
$\bigstar$ Αν c=1

τότε $(a,b,c)=(0,0,1), \ (-1,0,1)$
$\bigstar$ Αν c=3

τότε

με

ακέραιο.
$\bigstar$ Αν $c\geq 5$ τότε b^2=t^3-t^c

και το δεύτερο μέλος είναι αρνητικό για $t\geq 2$ . Άρα μένει η περίπτωση t=1

απ' όπου

, όπου

ακέραιος.

ii) Αν ο

είναι άρτιος με $c\geq 2$ τότε η εξίσωση γράφεται $b^2=t^c+t^3=t^3\left(t^{c-3}+1\right)$ απ' όπου όπως πριν τα t^3

και $t^{c-3}+1$ πρέπει να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων. Έστω λοιπόν $t^{c-3}+1=y^2 \Leftrightarrow y^2-t^{c-3}=1$ η οποία είναι εξίσωση τύπου Catalan. Με όμοιο τρόπο όπως παραπάνω, οι περιπτώσεις $c-3=1, \ c-3>1$ δε δίνουν λύσεις ενώ η c-3<1

οδηγεί στην c=2

απ΄ όπου παίρνουμε τις άπειρες λύσεις $(a,b,c)=(1-k^2,\pm k(k^2-1),2)$ , όπου ο

είναι ακέραιος.

iii) Αν c=0

τότε η εξίσωση γράφεται b^2-(-a)^3=1

που είναι εξίσωση Catalan κι έτσι με όμοιο τρόπο όπως παραπάνω παίρνουμε $(a,b,c)=(-2, \pm 3,0)$ .

Συνοψίζοντας, για a,b,c

ακεραίους η αρχική εξίσωση έχει λύσεις τις εξής:
(a,b,c)=(1,0,k)

με

ακέραιο,

με

ακέραιο,

με $k\geq 1$ ακέραιο,
(a,b,c)=(-1,0,2k+1)

με

ακέραιο,
$(a,b,c)=(-2, \pm 3, 0)$ και τέλος
$(a,b,c)=(1-k^2,\pm k(k^2-1),2)$ με

ακέραιο.

Αλέξανδρος

GaussEuler__:) · #8

Γνωρίζετε από πού μπορούμε να μελετήσουμε διοφαντικές εξισώσεις και να βρούμε σχετικές ασκήσεις;

Αδύνατη Ισότητα

Αδύνατη Ισότητα

Re: Αδύνατη Ισότητα

Re: Αδύνατη Ισότητα

Re: Αδύνατη Ισότητα

Re: Αδύνατη Ισότητα

Re: Αδύνατη Ισότητα

Re: Αδύνατη Ισότητα

Re: Αδύνατη Ισότητα

Μέλη σε σύνδεση