Πάνω από το 80%

KARKAR · #1

Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:39 am
Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$

H ανισότητα γράφεται, 5x^2+5y^2+5-4x-4y-4xy>0,

απ' όπου

$\displaystyle ({x^2} - 4xy + 4{y^2}) + (4{x^2} - 4x + 1) + ({y^2} - 4y + 4) > 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {(x - 2y)^2} + {(2x - 1)^2} + {(y - 2)^2} > 0,$ που ισχύει, αφού οι παραστάσεις x-2y, 2x-1, y-2

δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα.

KARKAR · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:55 am

$\displaystyle {(x - 2y)^2} + {(2x - 1)^2} + {(y - 2)^2} > 0$

Γιατί όχι : $\displaystyle {(2x - y)^2} + {(2y - 1)^2} + {(x - 2)^2} > 0$

Μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ ;

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:39 am
Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$

Ισοδύναμα θέλουμε 5x^2-4(y+1)x+(5y^2-4y+5)>0

. Ως προς

έχει διακρίνουσα

$\dfrac {D}{4} = -21y^2+28y-21= -21\left ( y-\dfrac {2}{3}\right )^2-\dfrac {35}{3} <0$ . Και λοιπά.

Υπάρχουν και πολλοί άλλοι τρόποι απόδειξης.

.

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:55 am
$\displaystyle {(x - 2y)^2} + {(2x - 1)^2} + {(y - 2)^2} > 0$

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 9:13 am
Γιατί όχι : $\displaystyle {(2x - y)^2} + {(2y - 1)^2} + {(x - 2)^2} > 0$

Εννοείται, αφού είναι συμμετρική ως προς x,y

.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 9:13 am

Μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ ;

.
Mε οδηγό την λύση που έγραψα παραπάνω θα δούμε ότι ισχύει

$x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy) \ge \dfrac {7}{15}$ με ισότητα όταν $x=y = \dfrac {2}{3}$ , δηλαδή το ελάχιστο είναι $\boxed { \dfrac {7}{15} }$ . Την τιμή αυτή την βρήκα από την προηγούμενη λύση και φροντίζοντας να βγαίνει διακρίνουσα $\le 0$ .

Πράγματι, χωρίς τις πράξεις ρουτίνας, η διαφορά των δύο μελών είναι

$x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy) - \dfrac {7}{15} = \left ( x-\dfrac{2}{5}y- \dfrac{2}{5} \right ) ^2 + \dfrac{7}{3} \left ( \dfrac{3}{5}y- \dfrac{2}{5} \right ) ^2$

Το δεξί μέλος είναι βέβαια $\ge 0$ , με ισότητα $x=y = \dfrac {2}{3}$ .

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 12:12 pm
... θα δούμε ότι ισχύει

$x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy) \ge \dfrac {7}{15}$ με ισότητα όταν $x=y = \dfrac {2}{3}$ , δηλαδή το ελάχιστο είναι $\boxed { \dfrac {7}{15} }$ .

.
Ας το δούμε αλλιώς: Πολλαπλασιάζοντας επί

θέλουμε να δείξουμε ότι

$15x^2+15y^2+8 \ge 12(x+y+xy)$

Αλλά αυτή προκύπτει αμέσως με πρόσθεση κατά μέλη των

$6(x^2+y^2) \ge 12 xy$

$9x^2 +4 \ge 12x$ (υπόψη ότι αυτή ισοδυναμεί με την $(3x-2)^2\ge 0$

$9y^2 +4 \ge 12y$

Με ισότητα όταν έχουμε ισότητες και στις τρεις προηγούμενες, δηλαδή όταν $x=y=\dfrac {2}{3}$

H λύση αυτή δίνει εύκολη απόδειξη και της αρχικής ανισότητας, στο ποστ #1. Συγκεκριμένα, προσθέτουμε στις τρεις προηγούμενες και την 7>0

. Με άλλα λόγια, η αρχική ανισότητα είναι αρκετά χαλαρή.

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 9:13 am

Μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ ;

Θεωρώ την παράσταση ως τριώνυμο του

$\displaystyle f(x) = {x^2} - \frac{4}{5}(y + 1)x + {y^2} + 1 - \frac{{4y}}{5},$ που έχει ελάχιστο

για $\displaystyle x = \frac{2}{5}(1 + y).$ Αν κάνω το ίδιο με τριώνυμο του

θα έχουμε ελάχιστο όταν $y=\dfrac{2}{5}(x+1).$

Από τα παραπάνω, η παράσταση έχει για $\boxed{x=y=\frac{2}{3}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{f_{\rm min}=\frac{7}{15}}$

KARKAR · #9

Οι δύο τελευταίες αναρτήσεις του Μιχάλη και του Γιώργου , θα έλεγε κανείς ότι είναι

" λόγοι για να αγαπήσει κανείς τα Μαθηματικά " !

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:39 am
Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$

Καλησπέρα...

Αναρτώ μερικά σχήματα από το χώρο των τριών διαστάσεων γιατί

η ζητούμενη ανισότητα και η όλη μελέτη που ακολούθησε έχει κατά βάση

και μια γεωμετρική ερμηνεία.

Σχήμα 1ο

: Surface 1.png (165.39 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές

Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι αν υψώσουμε κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ τότε

το σημείο τομής της καθέτου αυτής με τη γαλάζια επιφάνεια βρίσκεται κάτωθεν του σημείου τομής της καθέτου με την

κίτρινη επιφάνεια, κάτι που ερμηνεύει γεωμετρικά την δοθείσα ανισότητα.

Δυναμικό σχήμα: https://www.geogebra.org/m/qr39xhmd

Δεύτερο σχήμα

: Surface 2.png (73.91 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται η αντίστοιχη συνάρτηση ενιαία και ερμηνεύει

την ύπαρξη του ακροτάτου αυτής.

Δυναμικό σχήμα: https://www.geogebra.org/m/b9xv9tms

Τα ανωτέρω σχήματα είναι παραβολοειδή και υπερβολικά παραβολοειδή.

Κώστας Δόρτσιος

Πάνω από το 80%

Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Μέλη σε σύνδεση