Συμμετροδιάμεσος σε ειδικό τρίγωνο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA220-FB2576.png (33.63 KiB) Προβλήθηκε 1003 φορές

Στην αναζήτηση σημείου

, της βάσης

, τριγώνου ABC

, ώστε η

να είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του ABC

,

"ανακαλύψαμε" ότι το

είναι το μέσον του τμήματος

, όπου

η ορθή προβολή του

στην

και

το μέσον της

,

υπό την προϋπόθεση όμως ότι $AM=\dfrac{\sqrt3}{2}BC$

α. αποδείξτε τον ισχυρισμό μας

β. δείξτε ότι για όλα τα τρίγωνα ABC

, με σταθερή βάση

, που έχουν την κορυφή τους

στον κύκλο $(M, \dfrac{\sqrt3}{2}BC)$ , η

είναι η Α-συμμετροδιάμεσός τους ( P, M

όπως ορίζονται παραπάνω).

γ. δείξτε ότι το το συμμετρικό του

ως προς

, έστω

, είναι ο πόλος της

ως προς τον περίκυκλο του ABC

#2

Αν δείξουμε το πρώτο, τα υπόλοιπα έπονται απλά. Είναι:

$DM=\dfrac{b^2-c^2}{2a}$

$BD=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2a}$

$m_{a}^{2}=\dfrac{3a^2}{4}\Leftrightarrow \dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4}\Leftrightarrow 2a^2=b^2+c^2$

Έτσι

$\dfrac{CP}{BP}=\dfrac{\dfrac{a}{2}+\dfrac{DM}{2}}{BD+\dfrac{DM}{2}}=...=\dfrac{2a^2+b^2-c^2}{2a^2+c^2-b^2}=...=\dfrac{b^2}{c^2}$ κ.λπ.

#3

Για το γ) ερώτημα αρκεί να θυμηθούμε ότι η μεσοκάθετος της

, η εσωτερική Α-συμμετροδιάμεσος και οι εξωτερικές Β, C-συμμετροδιάμεσοι συντρέχουν.

Στην Περίπτωσή μας, επειδή το

είναι μέσο του

, το παραπάνω σημείο τομής είναι το

. Φανερά, τώρα, το

είναι ο πόλος της

Συμμετροδιάμεσος σε ειδικό τρίγωνο

Συμμετροδιάμεσος σε ειδικό τρίγωνο

Re: Συμμετροδιάμεσος σε ειδικό τρίγωνο

Re: Συμμετροδιάμεσος σε ειδικό τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση