Ίσα γινόμενα σε ρόμβο

KARKAR · #1

: Ίσα γινίμενα σε ρόμβο.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Η γωνία $\hat{A}$ του ρόμβου ABCD

έχει μέτρο 60^0

. Ευθεία διερχόμενη από την κορυφή

τέμνει τις προεκτάσεις των AB,AD

στα σημεία P,T

αντίστοιχα . Ονομάζω

την τομή

των BT,DP

. Δείξτε ότι : $BS\cdot BT=DS\cdot DP$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 06, 2019 10:43 am
Ίσα γινίμενα σε ρόμβο.pngΗ γωνία $\hat{A}$ του ρόμβου έχει μέτρο . Ευθεία διερχόμενη από την κορυφή

τέμνει τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Ονομάζω την τομή

των . Δείξτε ότι : $BS\cdot BT=DS\cdot DP$

Έστω

η πλευρά του ρόμβου.

: Ίσα γινόμενα σε ρόμβο.png (19.86 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

Εύκολα τα τρίγωνα PBC, CDT

είναι όμοια, άρα: $\displaystyle \frac{{BP}}{{DC}} = \frac{{BC}}{{DT}} \Leftrightarrow \frac{{BP}}{a} = \frac{a}{{DT}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{BD = a} \frac{{BP}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{DT}}$

κι επειδή $P\widehat BD=B\widehat DT=120^\circ$ και τα PBD, BDT

θα είναι όμοια, οπότε οι μπλε γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους,

όπως και οι πράσινες. Αυτό σημαίνει ότι

είναι το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των περίκυκλων των τριγώνων

BPS, DTS.

Άρα: $\boxed{ BS \cdot BT = B{D^2} = DS \cdot DP}$

Ίσα γινόμενα σε ρόμβο

Ίσα γινόμενα σε ρόμβο

Re: Ίσα γινόμενα σε ρόμβο

Μέλη σε σύνδεση