Μεταβλητή βάση σταθερός λόγος

#1

: Μεταβλητή βάση σταθερός λόγος.png (21.78 KiB) Προβλήθηκε 1359 φορές

Στο σκαληνό τρίγωνο ABC

οι πλευρές $AC = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = c$ είναι σταθερές ενώ η βάση του

μεταβάλλεται.

Ο κύκλος $\left( {A,B,C} \right)$ τέμνει τη προέκταση της διαμέσου

ακόμα στο

.

Η

είναι χορδή παράλληλη στην

και ας είναι

το σημείο τομής των $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

Φέρνω τις εφαπτομένες ευθείες $\left( d \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( e \right)$ του κύκλου στα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ .

Οι παράλληλες από το

στις $\left( d \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( e \right)$ τέμνουν τη

στα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ .

Δείξετε ότι ο λόγος $\dfrac{{SD}}{{SE}}$ είναι σταθερός .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2020 10:40 pm
Μεταβλητή βάση σταθερός λόγος.png

Στο σκαληνό τρίγωνο οι πλευρές $AC = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = c$ είναι σταθερές ενώ η βάση του μεταβάλλεται.

Ο κύκλος $\left( {A,B,C} \right)$ τέμνει τη προέκταση της διαμέσου ακόμα στο .

Η είναι χορδή παράλληλη στην και ας είναι το σημείο τομής των $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

Φέρνω τις εφαπτομένες ευθείες $\left( d \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( e \right)$ του κύκλου στα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ .

Οι παράλληλες από το στις $\left( d \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( e \right)$ τέμνουν τη στα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ .

Δείξετε ότι ο λόγος $\dfrac{{SD}}{{SE}}$ είναι σταθερός .

: Μεταβλητή βάση σταθερός λόγος.png (31.61 KiB) Προβλήθηκε 1332 φορές

Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο. $\displaystyle B\widehat AS = B\widehat AT = P\widehat AC = M\widehat AC,$ άρα

είναι η

συμμετροδιάμεσος

του ABC.

Οι περίκυκλοι των τριγώνων AEB, ADC

τέμνονται σε σημείο

της

$\displaystyle SE \cdot SB = SK \cdot SA = SD \cdot SC \Leftrightarrow$ $\boxed{ \frac{{SD}}{{SE}} = \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}}$

(*)

Θα το αποδείξω σε επόμενη ανάρτηση.

#3

Με τις προδιαγραφές της προηγούμενης άσκησης θα δείξω ότι οι περίκυκλοι των τριγώνων τέμνονται πάνω στην συμμετροδιάμεσο.

Έστω ότι οι περίκυκλοι των AEB, ADC

τέμνονται στο

και η

τέμνει την

στο

Αρκεί να δείξω ότι οι

ευθείες d, e, AS

συντρέχουν. Αν η (d)

τέμνει τον κύκλο A, E, B

στο

και η

τον κύκλο

στο

τότε:

: Λήμμα.Φ..png (27.05 KiB) Προβλήθηκε 1283 φορές

$\displaystyle A\widehat GC = A\widehat DB = \omega = \theta = A\widehat EC = B\widehat FA,$ άρα τα σημεία A, F, G

είναι συνευθειακά και FG||BC.

Είναι ακόμα BD=AF, EC=AG

και $\displaystyle SE \cdot SB = SK \cdot SA = SD \cdot SC,$ απ' όπου έχουμε:

$\displaystyle \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{{SD}}{{SE}} = \frac{{SB + SD}}{{SC + SE}} = \frac{{BD}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{{SB}}{{SC}} = \frac{{AF}}{{AG}}$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Μεταβλητή βάση σταθερός λόγος

Μεταβλητή βάση σταθερός λόγος

Re: Μεταβλητή βάση σταθερός λόγος

Re: Μεταβλητή βάση σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση