Παράγωγο ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Παράγωγο ορθογώνιο.png (9.62 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι :

. Στην προέκταση του ύψους

προς το μέρος

του

, θεωρούμε σημείο

, ώστε :

και ονομάζουμε

το μέσο του τμήματος

και

, την τομή του

με την

. Δείξτε ότι το

είναι το μέσο του

και υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 17, 2023 7:32 pm
Παράγωγο ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : . Στην προέκταση του ύψους προς το μέρος

του , θεωρούμε σημείο , ώστε : και ονομάζουμε το μέσο του τμήματος και

, την τομή του με την . Δείξτε ότι το είναι το μέσο του και υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

$\dfrac{BD}{DC}= (\dfrac{AB}{AC})^2=4$ .Αν $CD=AT=m\Rightarrow DB=4m \Rightarrow DN=2m$

$AD^2=CD.DB=4m^2\Rightarrow AD=2m \Rightarrow NM=//AT=m \Rightarrow TS=SN$

Είναι $tan \omega = \dfrac{DN}{DT} = \dfrac{2}{3}$ και $tan \theta =tan2 \omega = \dfrac{2tan \omega }{1-tan^2 \omega }= \dfrac{12}{5}$

: παράγωγο ορθογώνιο.png (8.19 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Henri van Aubel · #3

Αλλιώς. Πρώτο ερώτημα.Θέτουμε $AT=CD=x\Rightarrow AD=2x$ και $\displaystyle DN=\frac{BD}{2}=2x$ . Eπομένως $\displaystyle \cot \angle DTN=\frac{DT}{DN}=\frac{3}{2}\Rightarrow \boxed{\frac{TN}{DN}=\frac{\sqrt{13}}{2}\Rightarrow \frac{TN}{AT}=\sqrt{13}}\left ( 1 \right )$

'Ομως $\displaystyle \frac{TS}{AT}=\frac{\sin \angle BAD}{\sin \left ( \angle BAD-\angle DTN \right )}=\frac{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}{\displaystyle \frac{4}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{2}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{2}{\sqrt{13}}}=\frac{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{5}}}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \boxed{\frac{TS}{AT}=\frac{\sqrt{13}}{2}}\left ( 2 \right )$

Συνεπώς, από τις σχέσεις $\left ( 1 \right )$ και $\left ( 2 \right )$ προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{TN}{AT}=\frac{2TS}{AT}\Rightarrow S$ μέσο του

όπως θέλαμε. $\square$

Δεύτερο ερώτημα. Έχουμε $\displaystyle \tan \theta =\tan \left ( 2\angle DTN \right )=\frac{\displaystyle \frac{4}{3}}{\displaystyle 1-\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}}=\frac{\displaystyle \frac{12}{9}}{\displaystyle \frac{5}{9}}\Leftrightarrow \boxed{\tan \theta =\frac{12}{5}}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 17, 2023 7:32 pm
Παράγωγο ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : . Στην προέκταση του ύψους προς το μέρος

του , θεωρούμε σημείο , ώστε : και ονομάζουμε το μέσο του τμήματος και

, την τομή του με την . Δείξτε ότι το είναι το μέσο του και υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Εστω

Τότε απο μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC,AC^{2}=CD.CB\Rightarrow DB=4d,c=2b,AD=2d,$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ADB,DN=NB=2d,LN//AB\Rightarrow LD=AL=d,$
Στο τρίγωνο $TLN,AL=AT,LN//AS\Rightarrow TS=SN$

Για την εφαπτομένη της γωνίας $\theta ,tan\theta =tan2T,tanT=\dfrac{2}{3}\Rightarrow tan\theta =\dfrac{12}{5}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 17, 2023 7:32 pm
Παράγωγο ορθογώνιο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : . Στην προέκταση του ύψους προς το μέρος

του , θεωρούμε σημείο , ώστε : και ονομάζουμε το μέσο του τμήματος και

, την τομή του με την . Δείξτε ότι το είναι το μέσο του και υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Στο ορθογώνιο $\vartriangle ABC$ επειδή η μια κάθετη πλευρά είναι διπλάσια της άλλης , οι προβολές τους στην υποτείνουσα είναι η μια τετραπλάσια της άλλης .

Έτσι αν $DC = x \Rightarrow DB = 4x \Rightarrow BN = ND = 2x$ . Επειδή τώρα $\vartriangle ABC \approx \vartriangle DAC \Rightarrow DA = 2x$ .

: Παράγωγο ορθογώνιο_new.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

α) Από Θ. Μενελάου στο $\vartriangle DTN$ με διατέμνουσα , $\overline {BSA}$ θα έχω: $\dfrac{{TA}}{{AD}} \cdot \dfrac{{DB}}{{BN}} \cdot \dfrac{{NS}}{{ST}} = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{{2x}} \cdot \dfrac{{4x}}{{2x}} \cdot \dfrac{{NS}}{{ST}} = 1 \Rightarrow NS = ST$

β) Στο $\vartriangle SND$ είναι SD = SN

( διάμεσος προς υποτείνουσα) έτσι : $\tan \theta + 2\tan \phi = \tan \theta {\left( {\tan \phi } \right)^2} \Rightarrow \tan \theta + 3 = \dfrac{9}{4}\tan \theta$ .

Δηλαδή $\boxed{\tan \theta = \frac{{12}}{5}}$

Παράγωγο ορθογώνιο

Παράγωγο ορθογώνιο

Re: Παράγωγο ορθογώνιο

Re: Παράγωγο ορθογώνιο

Re: Παράγωγο ορθογώνιο

Re: Παράγωγο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση