Κρυφό ορθογώνιο τρίγωνο

#1

: Κρυφό ορθογώνιο τρίγωνο.png (18.62 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Έστω $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ τα εφαπτόμενα τμήματα προς κύκλο $\left( O \right)$ . Θεωρώ νέο κύκλο $\left( K \right)$ μεγαλύτερο του $\left( O \right)$ εφαπτόμενο εσωτερικά μ αυτόν στο

.

Οι $SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ προεκτείνονται προς το

και τέμνουν τον $\left( K \right)$ στα σημεία , $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ .

Δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα : $SD\,\,,\,\,SA\,\,,\,\,CD$ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 20, 2023 12:35 am
Κρυφό ορθογώνιο τρίγωνο.png
Έστω $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ τα εφαπτόμενα τμήματα προς κύκλο $\left( O \right)$ . Θεωρώ νέο κύκλο $\left( K \right)$ μεγαλύτερο του $\left( O \right)$ εφαπτόμενο εσωτερικά μ αυτόν στο .

Οι $SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ προεκτείνονται προς το και τέμνουν τον $\left( K \right)$ στα σημεία , $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ .

Δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα : $SD\,\,,\,\,SA\,\,,\,\,CD$ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου .

Η κάθετη από το

στην

τέμνει τον κύκλο (K)

στο

Επειδή η

είναι κοινή εφαπτόμενη των κύκλων (K),(O)

θα είναι $\angle DEA= \angle BAS= \angle ABS= \angle ALS$

οπότε το τετράπλευρο EQBA

είναι εγγράψιμμο , ( όπως και το ABLS)

άρα

$\angle EAD=90^0$ συνεπώς

είναι διάμετρος του (K)

Ισχύει

και

Έτσι

: κρυφό ορθογώνιο τρίγωνο.png (43.45 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Henri van Aubel · #3

Φέρνω $SP\perp AD\left ( P\in AD \right )^{SB=SA}\Rightarrow DS^{2}-SA^{2}=\left ( DB+\frac{AB}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{AB}{2} \right )^{2}$

Οπότε $DS^{2}-SA^{2}=DB\left ( DB+AB \right )=DB\cdot DA$

Όμως $\angle BCD=\angle ACD-\angle ACB=\angle SAD-\angle ACB=\angle ABS-\angle ACB$ οπότε $\angle BCD=\angle CAD\Rightarrow CD^{2}=DB\cdot DA$ κλπ.

S.E.Louridas · #4

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 20, 2023 12:35 am
Έστω $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ τα εφαπτόμενα τμήματα προς κύκλο $\left( O \right)$ . Θεωρώ νέο κύκλο $\left( K \right)$ μεγαλύτερο του $\left( O \right)$ εφαπτόμενο εσωτερικά μ αυτόν στο .

Οι $SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ προεκτείνονται προς το και τέμνουν τον $\left( K \right)$ στα σημεία , $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ .

Δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα : $SD\,\,,\,\,SA\,\,,\,\,CD$ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου .

Έτσι ή αλλιώς ότι υπάρχει είναι καλό.
Μετά λοιπόν τις Άριστες παραπάνω λύσεις, ας δούμε και την ημέτερη διαπραγμάτευση:

Αν

η τομή του μέσα κύκλου με την

, τότε $\angle BAS = \angle BFA = \angle DCA \Rightarrow FB\parallel CD.$

Άρα παίρνουμε $\angle DCB = \angle FBC = \angle FAB \Rightarrow \vartriangle CDB \sim \vartriangle ACD \Rightarrow C{D^2} = DB \cdot DA = S{D^2} - S{A^2}\;\,\left( 1 \right),$

οπότε $S{A^2} + C{D^2} = S{D^2}.$ Και έτσι πήραμε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα : $SD\,\,,\,\,SA\,\,,\,\,CD$ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου,

υποτείνουσας SD.

Η

ισχύει ως δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο (S, SA=SB).

: krifo.png (52.23 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Κρυφό ορθογώνιο τρίγωνο

Κρυφό ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Κρυφό ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Κρυφό ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Κρυφό ορθογώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση