Τα τρία ημικύκλια

KARKAR · #1

: Τα τρία ημικύκλια.png (17.55 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

. Σχεδιάζω ημικύκλιο διαμέτρου

και ένα τρίτο ημικύκλιο , κέντρου

, το οποίο εφάπτεται στο δεύτερο , έχει τα άκρα του

και

στην

ευθεία

και τέμνει το αρχικό στο σημείο

. Υπολογίστε το τμήμα

και την γωνία : $\widehat{BDS}=\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 30, 2024 7:29 pm
Τα τρία ημικύκλια.pngΤο σημείο είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου . Σχεδιάζω ημικύκλιο διαμέτρου

και ένα τρίτο ημικύκλιο , κέντρου , το οποίο εφάπτεται στο δεύτερο , έχει τα άκρα του και στην

ευθεία και τέμνει το αρχικό στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα και την γωνία : $\widehat{BDS}=\theta$ .

Ας είναι

. Έστω ακόμα

το σημείο επαφής των κόκκινου( κέντρου

) και πράσινου( κέντρου

) ημικυκλίου.

Θα είναι : $TB = LB - LT = k\sqrt 5 - k = k\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$ , Δηλαδή η ακτίνα του πράσινου ημικυκλίου είναι $BC = k\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\,\,\left( 1 \right)$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle SAB$ , έχω : $AS = \sqrt {A{B^2} - B{S^2}} = \sqrt {16{k^2} - 5{{\left( {\sqrt {5 - 1} } \right)}^2}{k^2}}$ . Δηλαδή , $AS = k\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \,\,\,\left( 2 \right)$ .

: Τρία ημικύκλια_oritzin_2.png (19.32 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Τώρα από το $\vartriangle SAB$ βρίσκω την εφαπτομένη της $2\theta$ . Είναι $\tan 2\theta = \dfrac{{AS}}{{BS}} = \dfrac{{k\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{{k\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}} = \sqrt {2\sqrt 5 + 5}$ . Άρα $2\theta = 72^\circ \Leftrightarrow \theta = 36^\circ$ .

Για το μήκος του

από το ορθογώνιο $\vartriangle SCD$ έχω: $\sin 54^\circ = \dfrac{{DS}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4} = \dfrac{{DS}}{{2k\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}} \Rightarrow \boxed{DS = 2k = r}$

Τα τρία ημικύκλια

Τα τρία ημικύκλια

Re: Τα τρία ημικύκλια

Μέλη σε σύνδεση