Εμβαδά σε αρμονική σχέση

sakis1963 · #1

: 2023.08.22.FB13203 mathematica.jpg (30.86 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές

Το τρίγωνο ABD

είναι ισόπλευρο και το σημείο

ανήκει στο έλασσον τόξο

, του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Δείξτε οτι για τα εμβαδά των τριγώνων ABC, ACD, BCD

, ισχύει: $\frac{1}{[ABC]}+\frac{1}{[ACD]}=\frac{1}{[BCD]}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Το τρίγωνο $\triangle ABD$ είναι ισόπλευρο οπότε AB=BD=AD

Το τετράπλευρο ABCD

είναι εγγράψιμο. Από το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου
$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$ οπότε απλοποιώντας βρίσκουμε
BC+CD=AC

Η ζητούμενη σχέση γράφεται
$\dfrac{1}{\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot\sin60^o}+\dfrac{1}{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CD\cdot\sin60^o}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD \cdot\sin120^o}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BC\cdot AC}+\dfrac{1}{AC\cdot CD}=\dfrac{1}{BC\cdot CD }$
και με απαλοιφή παρανομαστών καταλήγουμε σε κάτι που ισχύει
$\Leftrightarrow CD + BC = AC$ $\blacksquare$

STOPJOHN · #3

sakis1963 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2024 1:33 am
2023.08.22.FB13203 mathematica.jpg
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το σημείο ανήκει στο έλασσον τόξο , του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Δείξτε οτι για τα εμβαδά των τριγώνων , ισχύει: $\frac{1}{[ABC]}+\frac{1}{[ACD]}=\frac{1}{[BCD]}$

H αποδεικτέα σχέση γράφεται

$\dfrac{1}{(ACD)}=\dfrac{1}{(BCD)}-\dfrac{1}{(ABC)},AN\perp BC,DE\perp BC,BC=a,$

Στα ορθογώνια τρίγωνα

$ANC,CDE,\hat{NAC}=30=\hat{CDE},AN=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AC,DE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AC,$

Οπότε

$\dfrac{1}{(BCD)}-\dfrac{1}{(ABC)}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3a}.\dfrac{AC-CD}{AC.CD},(*), \dfrac{1}{(ACD)}=\dfrac{4}{\sqrt{3}AC.CD},(**)$

Απο θεώρημα Πτολεμαίου στο

ABCD

,

και

τέλος

Εμβαδά σε αρμονική σχέση

Εμβαδά σε αρμονική σχέση

Re: Εμβαδά σε αρμονική σχέση

Re: Εμβαδά σε αρμονική σχέση

Μέλη σε σύνδεση