Νέος λόγος

KARKAR · #1

: Νέος λόγος.png (13.31 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

Ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ των κάθετων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου είναι γνωστός . Με κέντρο

το ίχνος της διχοτόμου

της ορθής , γράφουμε κύκλο εφαπτόμενο των κάθετων

πλευρών , ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα στα S,P

. Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{y}{x}$

Μπελάς ; Κάντε το για την περίπτωση που $\dfrac{b}{c}=\dfrac{3}{4}$ , όπως στο σχήμα .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

και

τα σημεία επαφής του κύκλου με τις

και

αντίστοιχα.

Έστω επίσης CE=z

Εύκολα προκύπτει ότι:

AD=AE=KD=KE=KS=KP=6-z

και

Τα ορθογώνια τρίγωνα ECK

και

είναι όμοια, συνεπώς $\dfrac{EC}{EK} = \dfrac{DK}{DB} \Leftrightarrow \dfrac{z}{6-z} = \dfrac{6-z}{z+2} \Leftrightarrow z= \dfrac{18}{7}$

Άρα $KS=KP=6-z= \dfrac{24}{7}$

Από το Π.Θ. στο τρίγωνο ABC

έχουμε ότι CB = 10

.

Άρα

(1)

Από το θεώρημα διχοτόμων έχουμε ότι: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{KB}{KC} \Leftrightarrow \dfrac{KB}{KC}=\dfrac{8}{6}$ (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι $KB= \dfrac{40}{7}$ και $KC= \dfrac{30}{7}$

Επομένως $x=KB-KS= \dfrac{40}{7} - \dfrac{24}{7} = \dfrac{16}{7}$ και $y=KC-KP= \dfrac{30}{7} - \dfrac{24}{7} = \dfrac{6}{7}$

και τελικά $\dfrac{y}{x} = \dfrac{3}{8}$

#3

KARKAR έγραψε:Νέος λόγος.png Ο λόγος $\dfrac{b}{c}$ των κάθετων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου είναι γνωστός . Με κέντρο

το ίχνος της διχοτόμου της ορθής , γράφουμε κύκλο εφαπτόμενο των κάθετων

πλευρών , ο οποίος τέμνει την υποτείνουσα στα . Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{y}{x}$

Μπελάς ; Κάντε το για την περίπτωση που $\dfrac{b}{c}=\dfrac{3}{4}$ , όπως στο σχήμα .

: Νέος λόγος..png (11.31 KiB) Προβλήθηκε 946 φορές

Έστω $\displaystyle{\frac{b}{c} = k \Leftrightarrow b = ck}$ (1)

. Από τα όμοια τρίγωνα DBK, ECK

: $\displaystyle{\frac{r}{{b - r}} = \frac{{c - r}}{r} \Leftrightarrow r = \frac{{bc}}{{b + c}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{r = \frac{{ck}}{{k - 1}}}$ (2)

Από θεώρημα διχοτόμου: $\displaystyle{y = CK - r = \frac{{b(a - c)}}{{b + c}},x = BK - r = \frac{{c(a - b)}}{{b + c}} \Rightarrow \frac{y}{x} = k\frac{{a - c}}{{a - b}} = k\frac{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} - c}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} - b}}\mathop = \limits^{(2)} }$

$\displaystyle{k\frac{{c\sqrt {{k^2} + 1} - c}}{{c\sqrt {{k^2} + 1} - kc}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{y}{x} = k\left( {\sqrt {{k^2} + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {{k^2} + 1} + k} \right)}$

Νέος λόγος

Νέος λόγος

Re: Νέος λόγος

Re: Νέος λόγος

Μέλη σε σύνδεση