Καθετότητα

big-pitsirikos · #1

Οι κύκλοι

έχουν κέντρα I_1,I_2

αντίστοιχα και τέμνονται στα σημεία A,B

, ώστε η γωνία $\widehat{I_1AI_2}$ να είναι αμβλεία. Η εφαπτόμενη του K_1

στο

, τέμνει τον κύκλο K_2

στο

και η εφαπτόμενη του K_2

στο

, τέμνει τον K_1

στο

.
Έστω

ο περίκυκλος του τριγώνου BCD

. Οι

και

τέμνουν τον K_3

στα

αντίστοιχα. Έστω

το μέσο του τόξου

, που περιέχει το

.

Να δείξετε ότι $AE \perp KL$ .

: katheti.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 2730 φορές

Υ.Γ. Χαιρετισμούς στο Γαϊδουρονήσι (Ν. Χρυσή).

#2

big-pitsirikos έγραψε:Οι κύκλοι έχουν κέντρα αντίστοιχα και τέμνονται στα σημεία , ώστε η γωνία $\widehat{I_1AI_2}$ να είναι αμβλεία. Η εφαπτόμενη του στο , τέμνει τον κύκλο στο και η εφαπτόμενη του στο , τέμνει τον στο .
Έστω ο περίκυκλος του τριγώνου . Οι και τέμνουν τον στα αντίστοιχα. Έστω το μέσο του τόξου , που περιέχει το .

Να δείξετε ότι $AE \perp KL$ .

katheti.png

Υ.Γ. Χαιρετισμούς στο Γαϊδουρονήσι (Ν. Χρυσή).

Αντιχαιρετώ εγγύτατα της Ν. Χρυσής.

Αξιοποιώντας το «υπό χορδής κι’ εφαπτομένης» έχουμε :

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: καθετότητα_Big pitsirikos.png (50.91 KiB) Προβλήθηκε 2641 φορές

κι’ αφού $\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}}$ ως εξωτερική του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου BCKD

, θα είναι

$\widehat {{\omega _1}} + \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\omega _3}} + \widehat {{\theta _2}} \Leftrightarrow KA = KD$ .

Τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle KDA$ ο φορέας της διχοτόμου

της γωνίας $\widehat {AKD}$

Θα είναι και μεσοκάθετος στο

, ομοίως δε και η $LE \bot AK$ .( Μεσοκάθετος στο

)

Άμεση συνέπεια: Το

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle AKL$ και άρα $AE \bot LK$ .

Νίκος

#3

big-pitsirikos έγραψε:Οι κύκλοι έχουν κέντρα αντίστοιχα και τέμνονται στα σημεία , ώστε η γωνία $\widehat{I_1AI_2}$ να είναι αμβλεία. Η εφαπτόμενη του στο , τέμνει τον κύκλο στο και η εφαπτόμενη του στο , τέμνει τον στο .Έστω ο περίκυκλος του τριγώνου . Οι και τέμνουν τον στα αντίστοιχα. Έστω το μέσο του τόξου , που περιέχει το . Να δείξετε ότι $AE \perp KL$ .
Υ.Γ. Χαιρετισμούς στο Γαϊδουρονήσι (Ν. Χρυσή).

$\bullet$ Είναι $\angle xBC = \angle BAC + \angle BCA$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\angle BCA = \angle DAB\,\,(\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\, - \,\,\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma )} \angle xBC$ $= \angle BAC + \angle BAD$

$\Rightarrow \boxed{\angle xBC = \angle DAC}:\left( 1 \right)$ και ομοίως προκύπτει ότι $\boxed{\angle xBD = \angle DAC}:\left( 2 \right)$ .

Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \angle DBC = 2\left( {\angle DAC} \right)$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\angle DBC = \angle DEC\,\,(D,E,B,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha )}$ $\angle DEC = 2\left( {\angle DAC} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{ED = EC\,\,\chi o\rho \delta \varepsilon \varsigma \,\,\iota \sigma \omega \nu \,\,\tau o\xi \omega \nu } E$

το περίκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ADC \Rightarrow E{K_1},E{K_2}$ μεσοκάθετες των αντίστοιχα και ας είναι $M \equiv E{K_1} \cap AD\,\,\& \,\,N \equiv E{K_2} \cap AC$ .
[attachment=0]καθετότητα..png[/attachment]
$\bullet$ Τότε $\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{\dfrac{{AD}}{2}}}{{\dfrac{{AC}}{2}}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}}:\left( 3 \right)$ .

Από τις χορδές του Θαλασσή κύκλου των οποίων οι προεκτάσεις τέμνονται στο ισχύει: $AL \cdot AD = AC \cdot AK \Rightarrow \boxed{\frac{{AK}}{{AL}} = \frac{{AD}}{{AC}}}:\left( 4 \right)$ .

Από $\left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow \boxed{\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AK}}{{AL}}}:\left( 5 \right)$ από την οποία σύμφωνα με το Θεώρημα Κούτρα

προκύπτει ότι $AE \bot KL$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ Είχα σαν πρώτη προτεραιότητα τη λύση του Νίκου πιο πάνω αλλά αφού με πρόλαβε (χρονικά παρανόμως ) έγραψα την εναλλακτική

Καθετότητα

Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Re: Καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση