Ψάχνοντας τα κέντρα

KARKAR · #1

: Ψάχνοντας τα κέντρα.png (12.36 KiB) Προβλήθηκε 2293 φορές

Μέσα στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=8

, είναι γραμμένος ο κύκλος (K)

, ο οποίος

εφάπτεται της διαμέτρου σε σημείο

και του τόξου . Καλούμαστε να σχεδιάσουμε

τον κύκλο (Q)

, ο οποίος πρέπει να εφάπτεται της διαμέτρου , του τόξου και του (K)

.

α) Πώς θα μπορούσατε να σχεδιάσετε τον κύκλο (K)

............................. Mονάδες 6

β) Ποιο είναι οι συντεταγμένες του

, αν

................................Μονάδες 2

γ) Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του

........................................... Μονάδες 8

δ) Βρείτε τις συντεταγμένες του

, για τον

του β) ερωτήματος ........... Μονάδες 9

Σημείωση : Στο θέμα αυτό δεν τίθεται χρονικός ή ηλικιακός περιορισμός

#2

KARKAR έγραψε:Ψάχνοντας τα κέντρα.pngΜέσα στο ημικύκλιο διαμέτρου , είναι γραμμένος ο κύκλος , ο οποίος

εφάπτεται της διαμέτρου σε σημείο και του τόξου . Καλούμαστε να σχεδιάσουμε

τον κύκλο , ο οποίος πρέπει να εφάπτεται της διαμέτρου , του τόξου και του .

α) Πώς θα μπορούσατε να σχεδιάσετε τον κύκλο ............................. Mονάδες 6

: Ψάχνοντας τα κέντρα.png (24.26 KiB) Προβλήθηκε 2251 φορές

α) Συμπληρώνω τον κύκλο και γράφω τον κύκλο (S, R)

που τέμνει το κάτω ημικύκλιο στο

και η

τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στο

. Έστω

το μέσο του

. Η κάθετη από το

στην

τέμνει τον κύκλο (S, SM)

στο

. Ο κύκλος (K, KS)

είναι ο ζητούμενος (Υπάρχει βέβαια και η κατασκευή υπολογίζοντας την ακτίνα, που χρησιμεύει και στο β) ερώτημα. Ωστόσο, προτιμώ αυτήν που έγραψα).

Τα υπόλοιπα ερωτήματα αύριο αν δεν απαντηθούν.

#3

Καλημέρα στους φίλους . Καλημέρα σε όλους .

a) Θεωρούμε σημείο

πάνω στο ημικύκλιο (εκτός του μέσου του) και φέρνουμε την εφαπτομένη στο σημείο αυτό που τέμνει την ευθεία

στο

.

Η διχοτόμος της $\widehat {PJO}$ τέμνει την ακτίνα

στο κέντρο

.

Αν τώρα

η ακτίνα του κύκλου κέντρου

και

το σημείο επαφής του με την

Θα ισχύει : $O{Q^2} = O{T^2} + T{Q^2}$ . Το τρίγωνο όμως $\vartriangle KOS$ έχει γνωστές πλευρές :

$OS = u\,\,,\,\,KS = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OK = d = R - y$ οπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται :

${(R - x)^2} = {x^2} + {(2\sqrt {xy} - u)^2}$ αφού ως γνωστό $TS = 2\sqrt {xy}$ (κοινό εφαπτόμενο τμήμα)

: Ψάχνοντας το κέντρο.png (50.93 KiB) Προβλήθηκε 2244 φορές

Από την προηγούμενη σχέση έχουμε :

$\boxed{x = \frac{{2u\sqrt {2Ry} \sqrt {2Ry + {R^2} - {u^2}} + 2y({R^2} + {u^2}) + R({R^2} - {u^2})}}{{2{{(2y + R)}^2}}}}$

Η τομή των κύκλων , $(K,x + y)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(O,R - x)$ που βρίσκεται μέσα στο δοσμένο ημικύκλιο μας δίδει το κέντρο

.

Μετά τα υπόλοιπα λογιστικά δίδουν:

$K(1,\dfrac{{15}}{8})\,\,\,,\,\,Q(\dfrac{{16 - 60\sqrt 2 }}{{31}},\dfrac{{990 + 240\sqrt 2 }}{{961}})$ .

Τέλος για το Γεωμετρικό τόπο:

Το

ισαπέχει του σταθερού κέντρου του ημικυκλίου και της σταθερής

εφαπτομένης στο μέσο του .

Συνεπώς ανήκει στο τμήμα της παραβολής με εστία το σημείο

και διευθετούσα

την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο μέσο του, που βρίσκεται μέσα στο ημικύκλιο .

Αν το κέντρο του ημικυκλίου είναι η αρχή των αξόνων η εξίσωση της παραβολής

είναι : ${x^2} = 2( - 4)(y - 2)$ ή ως συνάρτηση, $y = - \dfrac{1}{8}{x^2} + 2\,\,\,,\,\,x \in [ - 4,4]$ .

Το

μπορεί να προσδιοριστεί και ως τομή μιας τυχαίας ακτίνας του ημικυκλίου με μια παραβολή ( ποιας

)

Φιλικά Νίκος

#4

KARKAR έγραψε: β) Ποιο είναι οι συντεταγμένες του , αν ................................Μονάδες 2

γ) Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του ........................................... Μονάδες 8

δ) Βρείτε τις συντεταγμένες του , για τον του β) ερωτήματος ........... Μονάδες 9

Σημείωση : Στο θέμα αυτό δεν τίθεται χρονικός ή ηλικιακός περιορισμός

Καλημέρα στους φίλους!

Τα υπόλοιπα ερωτήματα.

: Ψάχνοντας τα κέντρα.II.png (24.68 KiB) Προβλήθηκε 2219 φορές

β) Από Π. Θ, για t=1

βρίσκω $\displaystyle{y = \frac{{15}}{8}}$ , άρα $\boxed{K\left( {1,\frac{{15}}{8}} \right)}$

γ) Ο γεωμετρικός τόπος του

δίνεται από την εξίσωση: $\displaystyle{{(4 - y)^2} = {y^2} + {t^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{y = - \frac{{{t^2}}}{8} + 2}$ , που παριστάνει παραβολή.

δ) Για t=1

, $\displaystyle{Q{K^2} = P{M^2} = P{S^2} + S{M^2} \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{{15}}{8}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {{{(4 - x)}^2} + {x^2}} + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{15}}{8} - x} \right)^2}}$

$\displaystyle{{\left( {\sqrt {16 - 8x} + 1} \right)^2} = \frac{{15x}}{2}}$ , απ' όπου παίρνω $\displaystyle{x = \frac{{990 + 240\sqrt 2 }}{{961}}}$ και μετά την αντικατάσταση βρίσκω

$\boxed{x = Q\left( { \frac{{16 - 60\sqrt 2 }}{{31}},\frac{{990 + 240\sqrt 2 }}{{961}}} \right)}$

#5

Καλημέρα.

Φιλικά Νίκος

#6

KARKAR έγραψε:Ψάχνοντας τα κέντρα.pngΜέσα στο ημικύκλιο διαμέτρου , είναι γραμμένος ο κύκλος , ο οποίος

εφάπτεται της διαμέτρου σε σημείο και του τόξου . Καλούμαστε να σχεδιάσουμε

τον κύκλο , ο οποίος πρέπει να εφάπτεται της διαμέτρου , του τόξου και του .

Να πούμε δυο λόγια και για την κατασκευή του κύκλου (Q)

, που ήταν και ο αντικειμενικός μας σκοπός.

: Ψάχνοντας τα κέντρα.III.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 2207 φορές

Έστω

. Κατασκευάζω τον κύκλο (K)

όπως περιγράφηκε στην πρώτη μου ανάρτηση. Από το νότιο πόλο

του κύκλου (O, R)

φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

του κύκλου (K)

που τέμνει την

στο

. Το

είναι το σημείο τομής

της

με την διχοτόμο της γωνίας $\widehat{TEA}$ και (Q, QT)

είναι ο ζητούμενος κύκλος.

Το πρόβλημα έχει δύο λύσεις. Υπάρχει και κύκλος δεξιότερα του (K)

, αλλά όπως δόθηκε το σχήμα από τον θεματοδότη, ο κύκλος (Q)

τοποθετείται αριστερά του (K)

Γεια σου Νίκο!

KARKAR · #7

: Ψάχνοντας τα κέντρα.png (30.46 KiB) Προβλήθηκε 2199 φορές

α) Πώς θα μπορούσατε να σχεδιάσετε τον κύκλο (K)

; Όπως ο κύριος Φραγκάκης

β) Ποιο είναι οι συντεταγμένες του

, αν

; Απλό

γ) Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του

; όπως ο κύριος Βισβίκης

δ) Βρείτε τις συντεταγμένες του

, για τον

του β) ερωτήματος : Πρέπει :

r+R=QK

, δηλαδή : $\dfrac{16-x^2}{8}+\dfrac{15}{8}=\sqrt{(1-x)^2+(\dfrac{15}{8}-\dfrac{16-x^2}{8})^2$ ,

η οποία δίνει δεκτή τιμή $x=\dfrac{16-60\sqrt{2}}{31}$ ... ( κι έτσι αξιοποιήθηκε η παραβολή ) .

Ας δώσουμε τώρα ένα επιπλέον χειροκρότημα στον κ. Βισβίκη για την κατασκευή του

Ψάχνοντας τα κέντρα

Ψάχνοντας τα κέντρα

Re: Ψάχνοντας τα κέντρα

Re: Ψάχνοντας τα κέντρα

Re: Ψάχνοντας τα κέντρα

Re: Ψάχνοντας τα κέντρα

Re: Ψάχνοντας τα κέντρα

Re: Ψάχνοντας τα κέντρα

Μέλη σε σύνδεση