Αξιόλογη σταθερότητα

KARKAR · #1

: Αξιόλογη σταθερότητα.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Σε κύκλο

, εγγράφουμε τετράπλευρο με δεδομένες τις απέναντι πλευρές

και

.

Γράφουμε τον κύκλο διαμέτρου

, τον οποίο οι AD,BC

επανατέμνουν στα σημεία S,P

.

α) Δείξτε ότι το

είναι παράλληλο προς την

.

β) Δείξτε ότι το

έχει σταθερό μήκος .

γ) Αν $R=\dfrac{7}{2} , AB=6 , DC=4$ , υπολογίστε το μήκος του

.

#2

KARKAR έγραψε:Αξιόλογη σταθερότητα.pngΣε κύκλο , εγγράφουμε τετράπλευρο με δεδομένες τις απέναντι πλευρές και .

Γράφουμε τον κύκλο διαμέτρου , τον οποίο οι επανατέμνουν στα σημεία .

α) Δείξτε ότι το είναι παράλληλο προς την .

β) Δείξτε ότι το έχει σταθερό μήκος .

γ) Αν $R=\dfrac{7}{2} , AB=6 , DC=4$ , υπολογίστε το μήκος του .

Καλημέρα .

Επειδή προχθές ο KARKAR

παραπονιόταν που πέρασε ένα 24 ωρο για να του λύσουν ένα αντίστοιχο θέμα

υποθέτω ότι δεν έχει χρονική φραγή και σ αυτό.

α) Επειδή $\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}$ , ως εξωτερική εγγεγραμμένου τετραπλεύρου και $\widehat {{a_5}} + \widehat {{a_6}} = 180^\circ$ ως

: Αξιόλογη σταθερότητα_1.png (33.48 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

απέναντι γωνίες σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο, θα είναι $\widehat {{a_4}} + \widehat {{a_6}} = 180^\circ \Leftrightarrow SP//AB$ .

β) Οι κάθετες στα $C\,\,,\,\,D$ επί τις $BC\,\,,\,\,AD$ αντίστοιχα τέμνουν τον αρχικό κύκλο στα

$T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ και το κύκλο διαμέτρου

στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ και θα είναι προφανώς $\boxed{SP = EZ}$ .

Μεταβαίνουμε λοιπόν στο παρακάτω σχήμα και έχουμε:

: Αξιόλογη σταθερότητα_2.png (35.29 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Τις $AH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT$ διαμέτρους του αρχικού κύκλου .

Επειδή τα τόξα $u = \tau o\xi BH = \tau o\xi AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,w = \tau o\xi DC$ είναι σταθερά σε μέγεθος με

δεδομένες τις χορδές $AB = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD = 4$ , θα είναι το άθροισμα των τόξων $\boxed{a + b = 2\phi }$ σταθερό .

Από το τρίγωνο $\vartriangle DEZ$ , $x = EZ = 4\sin \theta = 4\cos \phi \,\,\,\,(1)$ ( σταθερό)

γ) Αν τώρα 2R = 7

είναι

$\left\{ \begin{gathered} \cos \dfrac{u}{2} = \dfrac{6}{7} \hfill \\ \sin \dfrac{w}{2} = \dfrac{4}{7} \hfill \\ \sin \dfrac{u}{2} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{7} \hfill \\ \cos \dfrac{w}{2} = \dfrac{{\sqrt {33} }}{7} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{4\sin \dfrac{{u + w}}{2} = \dfrac{{96 + 4\sqrt {429} }}{{49}}}\,\,(2)$ .
Επειδή όμως $a + b + u + w = 180^\circ \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{2} + \dfrac{{u + w}}{2} = 90^\circ \Rightarrow \boxed{\phi = 90^\circ - \dfrac{{u + w}}{2}}$ και έτσι

$\cos \phi = \sin \dfrac{{u + w}}{2}$ οπότε και λόγω των $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχουμε: $\boxed{x = \dfrac{{96 + 4\sqrt {429} }}{{49}}}$ .

Φιλικά Νίκος

Αξιόλογη σταθερότητα

Αξιόλογη σταθερότητα

Re: Αξιόλογη σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση