Περίεργη ισότητα

KARKAR · #1

: Περίεργη ισότητα.png (7.6 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

Υπολογίστε το μήκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

με BC=4

, αν η διχοτόμος

και η διάμεσος

, τέμνονται σε

σημείο

, ώστε να είναι : (MSB)=(DCB)

.

Η άσκηση θα έλεγα ότι έχει περισσότερο αλγεβρικό ενδιαφέρον

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε:Περίεργη ισότητα.pngΥπολογίστε το μήκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

με , αν η διχοτόμος και η διάμεσος , τέμνονται σε

σημείο , ώστε να είναι : .

Η άσκηση θα έλεγα ότι έχει περισσότερο αλγεβρικό ενδιαφέρον

Καλημέρα
Από το θεώρημα της διχοτόμου είναι $AD=\dfrac{b^{^{2}}}{b+4},(1), DC=\dfrac{4b}{b+4},(2)$

Από το θ.Μενελάου στο τρίγωνο ABD

με τέμνουσα $MSC,\dfrac{BS}{SD}\dfrac{DC}{CA}\dfrac{MA}{MB}=1\Rightarrow \dfrac{BS}{SD}=\dfrac{b+4}{4},(3)$

To ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο AMC

με τέμνουσα $BSD,\dfrac{SC}{MS}\dfrac{MB}{MA}\dfrac{AD}{DC}=1\Rightarrow \dfrac{SC}{MS}=\dfrac{8}{b},(4)$
$(BMS)=(BDC)\Rightarrow 8(BD)=b(BS)\Rightarrow 8(BS+SD)=B(BS)\Leftrightarrow \dfrac{BS}{SD}=\dfrac{8}{b-8},(7), (3),(7)\Rightarrow \dfrac{b+4}{4}=\dfrac{8}{b-8}\Leftrightarrow b^{2}-4b-64=0\Leftrightarrow b=2(1+\sqrt{17})$

Γιάννης

Περίεργη ισότητα

Περίεργη ισότητα

Re: Περίεργη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση