Mεταβλητή τέμνουσα και παραλληλία.

[vittasko]

Συγχωρέστε με αν την έχουμε ξαναδεί.

Από σημείο εκτός δοσμένου κύκλου , φέρνουμε τις εφαπτόμενες και έστω τα μέσα τους αντιστοίχως. Τυχούσα ευθεία δια του σημείου , τέμνει τον κύκλο στα σημεία με το μεταξύ των . Αποδείξτε ότι , όπου .

Κώστας Βήττας.

[simantiris j.]

Καλημέρα κ.Κώστα!Φαντάζομαι ότι εννοείτε .
Παρατηρούμε ότι και .Άρα τα έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τον και τον εκφυλισμένο κύκλο κέντρου ,συνεπώς η είναι ο ριζικός άξονάς τους.Επειδή λοιπόν είναι ,άρα ο περίκυκλος του τριγώνου εφάπτεται της .Συνεπώς από γωνίες χορδής-εφαπτομένης είναι ,που δίνει το ζητούμενο.

[vittasko]

Γιάννη, σ' ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση του τυπογραφικού και την όμορφη λύση σου.

Δεν μου πέρασε από τον νου το κριτήριο του κύκλου μηδενικής ακτίνας, που διευκολύνει αρκετά την τεκμηρίωση.

Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, με αρμονικά συζυγή.

Κώστας Βήττας.

[simantiris j.]

Κύριε Κώστα,βρήκα και μια λύση με αρμονικά συζυγή.Έστω .Τότε από το αρμονικό τετράπλευρο οι ευθείες σχηματίζουν αρμονική δέσμη άρα αφού από γνωστή πρόταση στα αρμονικά συζυγή ,το θα είναι μέσο του .Τότε όμως οι διαγώνιοι του διχοτομούνται άρα αυτό είναι παραλληλόγραμμο από όπου .
ΥΓ Αν και πλέον είμαι "συνταξιούχος" διαγωνιζόμενος δε μπορώ με τίποτα να μην ασχολούμαι με τη Γεωμετρία και την απίστευτη ομορφιά που αυτή κρύβει.