Επιδίωξη παραλληλίας

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11346
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Επιδίωξη παραλληλίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 05, 2020 12:57 pm

Επιδίωξη  παραλληλίας.png
Επιδίωξη παραλληλίας.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές
Το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου \displaystyle ABC και το O είναι το περίκεντρό του .

Βρείτε ικανή συνθήκη μεταξύ στοιχείων του τριγώνου , ώστε να είναι HO \parallel BC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7025
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Φεβ 05, 2020 2:40 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 05, 2020 12:57 pm
Επιδίωξη παραλληλίας.pngΤο H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου \displaystyle ABC και το O είναι το περίκεντρό του .

Βρείτε ικανή συνθήκη μεταξύ στοιχείων του τριγώνου , ώστε να είναι HO \parallel BC .
Επιδίωξη παραλληλίας _κατασκευή.png
Επιδίωξη παραλληλίας _κατασκευή.png (22.38 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές
Κατασκευή ( μόνο) για οξυγώνιο τρίγωνο.

Έστω κύκλος \left( {O,R} \right) και χορδή του BC . Ας είναι K το συμμετρικό του O με άξονα συμμετρίας την BC.

Γράφω το κύκλο \left( {K,KB} \right) και υποθέτω ότι τέμνει την από το O παράλληλη στη BC σε σημείο H.

Η κάθετη από το H στην BC τέμνει τον κύκλο στο A με A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K, εκατέρωθεν της BC.

Στο τρίγωνο ABC το H είναι ορθόκεντρο και HO//BC


Σε παλιό , καλό, βιβλίο τριγωνομετρίας υπάρχουν αρκετές αλγεβρικές σχέσεις σχετικά με την πιο πάνω παραλληλία..

Παράδειγμα:


\boxed{\cos A = \frac{1}{2}\cos \left( {B - C} \right)}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8935
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 05, 2020 5:16 pm

Όπως γράφει και ο Νίκος υπάρχουν διάφορες σχέσεις. Άλλη μία είναι: \boxed{\tan B\tan C = 3}

Καλό είναι να μας πει ο Θανάσης τι ακριβώς ζητάει.

Αξίζει να σημειωθεί ότι το τρίγωνο είναι υποχρεωτικά οξυγώνιο, γιατί αν ήταν αμβλυγώνιο τα σημεία O, H θα ήταν εκατέρωθεν της BC(στο ορθογώνιο το O είναι μέσο της BC).

Κατασκευή:
Επιδίωξη παραλληλίας.I.png
Επιδίωξη παραλληλίας.I.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές
Έστω H το μέσο ενός τμήματος AA'. Γράφω τυχαίο κύκλο κέντρου O που διέρχεται από τα σημεία A, A' και από το

μέσο D του HA' φέρνω κάθετη στην AA' που τέμνει τον κύκλο στα B, C. Το ABC είναι ένα τρίγωνο που πληροί

τις προδιαγραφές της εκφώνησης.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8935
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 06, 2020 11:11 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Φεβ 05, 2020 5:16 pm
Όπως γράφει και ο Νίκος υπάρχουν διάφορες σχέσεις. Άλλη μία είναι: \boxed{\tan B\tan C = 3}

Έστω ότι το ύψος AD τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο A'
Επιδίωξη παραλληλίας.png
Επιδίωξη παραλληλίας.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
HD = OM = \dfrac{{AH}}{2} \Leftrightarrow HD = \dfrac{{{h_a}}}{3} = DA'\\ 
\\ 
BD \cdot DC = AD \cdot DA' \Leftrightarrow BD \cdot DC = \dfrac{{{h_a}^2}}{3} 
\end{array} \right.

\displaystyle \tan B\tan C = \frac{{{h_a}}}{{BD}} \cdot \frac{{{h_a}}}{{DC}} \Rightarrow \boxed{\tan B\tan C = 3}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8935
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 07, 2020 1:51 pm

Ένα επιπλέον ερώτημα:
Επιδίωξη παραλληλίας.ΙΙ.png
Επιδίωξη παραλληλίας.ΙΙ.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές
Αν AD, BE, CF τα ύψη τριγώνου ABC και OH||BC, αποδείξτε ότι DF+DE=2FE.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Φεβ 07, 2020 6:15 pm

Καλησπέρα!

Είναι

\angle FDE=180^{\circ}-2A

\angle FED=180^{\circ}-2B

\angle DFE=180^{\circ}-2C

Αν R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του FDE, τότε

2FE=DE+EF\Leftrightarrow 4Rsin2A=2Rsin2B+2Rsin2C\Leftrightarrow 2sin2A=sin2B+sin2C

\Leftrightarrow 2sinAcosA=sinBcosB+sinCcosC\Leftrightarrow sinAcos(B-C)=sinBcosB+sinCcosC

\Leftrightarrow sin(B+C)cos(B-C)=sinBcosB+sinCcosC

\Leftrightarrow sinBcosB(sin^2C+cos^2C)+sinCcosC(sin^2B+cos^2B)=sinBcosB+sinCcosC,

που ισχύει.

Χρησιμοποιήθηκε η σχέση 2cosA=cos(B-C), την οποία ανέφερε στη δημοσίευσή του ο κύριος Νίκος Φραγκάκης (Doloros).


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης