Επιδίωξη παραλληλίας

KARKAR · #1

: Επιδίωξη παραλληλίας.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

Το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\displaystyle ABC$ και το

είναι το περίκεντρό του .

Βρείτε ικανή συνθήκη μεταξύ στοιχείων του τριγώνου , ώστε να είναι $HO \parallel BC$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 05, 2020 12:57 pm
Επιδίωξη παραλληλίας.pngΤο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\displaystyle ABC$ και το είναι το περίκεντρό του .

Βρείτε ικανή συνθήκη μεταξύ στοιχείων του τριγώνου , ώστε να είναι $HO \parallel BC$ .

: Επιδίωξη παραλληλίας _κατασκευή.png (22.38 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

Κατασκευή ( μόνο) για οξυγώνιο τρίγωνο.

Έστω κύκλος $\left( {O,R} \right)$ και χορδή του

. Ας είναι

το συμμετρικό του

με άξονα συμμετρίας την

.

Γράφω το κύκλο $\left( {K,KB} \right)$ και υποθέτω ότι τέμνει την από το

παράλληλη στη

σε σημείο

.

Η κάθετη από το

στην

τέμνει τον κύκλο στο

με $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ , εκατέρωθεν της

.

Στο τρίγωνο ABC

το

είναι ορθόκεντρο και HO//BC

Σε παλιό , καλό, βιβλίο τριγωνομετρίας υπάρχουν αρκετές αλγεβρικές σχέσεις σχετικά με την πιο πάνω παραλληλία..

Παράδειγμα:

$\boxed{\cos A = \frac{1}{2}\cos \left( {B - C} \right)}$ .

#3

Όπως γράφει και ο Νίκος υπάρχουν διάφορες σχέσεις. Άλλη μία είναι: $\boxed{\tan B\tan C = 3}$

Καλό είναι να μας πει ο Θανάσης τι ακριβώς ζητάει.

Αξίζει να σημειωθεί ότι το τρίγωνο είναι υποχρεωτικά οξυγώνιο, γιατί αν ήταν αμβλυγώνιο τα σημεία O, H

θα ήταν εκατέρωθεν της

(στο ορθογώνιο το

είναι μέσο της

).

Κατασκευή:

: Επιδίωξη παραλληλίας.I.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Έστω

το μέσο ενός τμήματος AA'.

Γράφω τυχαίο κύκλο κέντρου

που διέρχεται από τα σημεία A, A'

και από το

μέσο

του

φέρνω κάθετη στην AA'

που τέμνει τον κύκλο στα B, C.

Το

είναι ένα τρίγωνο που πληροί

τις προδιαγραφές της εκφώνησης.

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 05, 2020 5:16 pm
Όπως γράφει και ο Νίκος υπάρχουν διάφορες σχέσεις. Άλλη μία είναι: $\boxed{\tan B\tan C = 3}$

Έστω ότι το ύψος

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

: Επιδίωξη παραλληλίας.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} HD = OM = \dfrac{{AH}}{2} \Leftrightarrow HD = \dfrac{{{h_a}}}{3} = DA'\\ \\ BD \cdot DC = AD \cdot DA' \Leftrightarrow BD \cdot DC = \dfrac{{{h_a}^2}}{3} \end{array} \right.$

$\displaystyle \tan B\tan C = \frac{{{h_a}}}{{BD}} \cdot \frac{{{h_a}}}{{DC}} \Rightarrow$ $\boxed{\tan B\tan C = 3}$

#5

Ένα επιπλέον ερώτημα:

: Επιδίωξη παραλληλίας.ΙΙ.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Αν

τα ύψη τριγώνου ABC

και

αποδείξτε ότι DF+DE=2FE.

ksofsa · #6

Καλησπέρα!

Είναι

$\angle FDE=180^{\circ}-2A$

$\angle FED=180^{\circ}-2B$

$\angle DFE=180^{\circ}-2C$

Αν

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του FDE

, τότε

$2FE=DE+EF\Leftrightarrow 4Rsin2A=2Rsin2B+2Rsin2C\Leftrightarrow 2sin2A=sin2B+sin2C$

$\Leftrightarrow 2sinAcosA=sinBcosB+sinCcosC\Leftrightarrow sinAcos(B-C)=sinBcosB+sinCcosC$

$\Leftrightarrow sin(B+C)cos(B-C)=sinBcosB+sinCcosC$

$\Leftrightarrow sinBcosB(sin^2C+cos^2C)+sinCcosC(sin^2B+cos^2B)=sinBcosB+sinCcosC$ ,

που ισχύει.

Χρησιμοποιήθηκε η σχέση 2cosA=cos(B-C)

, την οποία ανέφερε στη δημοσίευσή του ο κύριος Νίκος Φραγκάκης (Doloros).

Επιδίωξη παραλληλίας

Επιδίωξη παραλληλίας

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

Re: Επιδίωξη παραλληλίας

Μέλη σε σύνδεση