Σταθερό άθροισμα

KARKAR · #1

: Σταθερό άθροισμα.png (9.74 KiB) Προβλήθηκε 1182 φορές

Σημείο

κινείται στην προέκταση της διαμέτρου

, ενός ημικυκλίου . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και

την τέμνουσα - διχοτόμο SPQ

. Αν $PP' \perp AB , QQ' \perp AB$ , υπολογίστε το άθροισμα : PP'+QQ'

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 8:02 am
Σταθερό άθροισμα.pngΣημείο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και

την τέμνουσα - διχοτόμο . Αν $PP' \perp AB , QQ' \perp AB$ , υπολογίστε το άθροισμα : .

Έστω

το κέντρο και το μέσο του ημικυκλίου,

η ακτίνα του,

το σημείο τομής των των OT, SQ

και

το

μέσο του PQ.

Έστω ακόμα L, M

οι προβολές των K, N

στην

και

το σημείο τομής της

με την

: Σταθερό άθροισμα.ΚΑ.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 1099 φορές

Οι μπλε γωνίες είναι ίσες γιατί είναι συμπληρωματικές των πράσινων, οπότε OE=OK

και

Επειδή όμως $ON\bot PQ,$ το

είναι μέσο του KE,

άρα και

μέσο του

Επομένως, $\displaystyle MN = \frac{{OE + KL}}{2} = \frac{{OE + EH}}{2} = \frac{R}{2} \Rightarrow$ $\boxed{PP'+QQ'=2MN=R}$

#3

Το

είναι μέσο του ημικυκλίου .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο OSF

το

είναι ύψος και η

διχοτόμος οπότε το $\vartriangle ODC$ είναι ισοσκελές

με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο MQPT

να είναι ισοσκελές τραπέζιο.

: Σταθερό άθροισμα_mew_1.png (58.72 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

Φέρνω από το

κάθετη στην $\overline {SPQ}$ και τέμνει τη διάμετρο

στο

.

Σχεδόν αβίαστα έχω ότι το τετράπλευρο MQKP

είναι παραλληλόγραμμο και

Έτσι αν σχηματίσω το παραλληλόγραμμο QQ'JM

θα είναι και το JQ'KP

παραλληλόγραμμο οπότε PP' = JO

και άρα

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 8:02 am
Σταθερό άθροισμα.pngΣημείο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και

την τέμνουσα - διχοτόμο . Αν $PP' \perp AB , QQ' \perp AB$ , υπολογίστε το άθροισμα : .

είναι οι ορθές προβολές των Q,P,E

αντίστοιχα επί της

.Επειδή

μέσον της

έχουμε

$\dfrac{R}{2} = EM= \dfrac{QC+PD}{2}= \dfrac{QQ \prime +PP \prime }{2} \Rightarrow QQ \prime +PP \prime =R$

: Σταθερό άθροισμα.png (16.24 KiB) Προβλήθηκε 1026 φορές

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 8:02 am
Σταθερό άθροισμα.pngΣημείο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και

την τέμνουσα - διχοτόμο . Αν $PP' \perp AB , QQ' \perp AB$ , υπολογίστε το άθροισμα : .

Καλησπέρα το τρίγωνο O'OL

είναι ισοσκελές γιατί $\hat{TSL}=\omega ,\hat{TLS}=90-\omega =\hat{O'LO}=\hat{OO'L},OL=OO'$ . Αν $ON\perp SO',$
Τότε και το τρίγωνο OJS

είναι ισοσκελές με OS=SJ

Αρα το σημείο

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου OJS

, $JI\perp AB$
Συνεπώς στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο GJIO

το σημείο

είναι το κέντρο του και αν $NN'\perp AB$ Στο τραπέζιο QQ'P'P

,η

είναι διαμεσος και QQ'+PP'=2NN'=R

p_gianno · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2020 8:02 am
Σταθερό άθροισμα.pngΣημείο κινείται στην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και

την τέμνουσα - διχοτόμο . Αν $PP' \perp AB , QQ' \perp AB$ , υπολογίστε το άθροισμα : .

: Σταθερό άθροισμα.PNG (25.65 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές

Έστω

το μέσο της χορδής

. Είναι

το κέντρο του κύκλου και

απόστημα της χορδής

συνεπώς $\angle KMQ=90^0$ .

Στρέφουμε το τετράπλευρο MKP’P

κατά την θετική φορά γύρω από το

κατά

μοίρες. Είναι τότε P’’K’||=KP’

. Επειδή

μεσοκάθετος του KK’

έπεται ότι

συμμετρικό του

και ως προς την ευθεία

συνεπώς

ανήκει ευθεία

.

Είναι τώρα $\angle P’’K’K= \angle K’KP’$ (1) και $\angle K’KP’=\angle KK’S$ (2) (από την αξονική συμμετρία ως προς

)

Από(1) , (2) έχουμε $\angle P’’K’K=\angle KK’T$ και επειδή K’T

εφαπτομένη του κύκλου από το σημείο

έπεται ότι και K’P’’

εφαπτομένη

του κύκλου. Αν

το νέο σημείο επαφής τότε R=KL=Q’P’’=QQ’+QP’’=QQ’+PP’=ct

.

οεδ

Σταθερό άθροισμα

Σταθερό άθροισμα

Re: Σταθερό άθροισμα

Re: Σταθερό άθροισμα

Re: Σταθερό άθροισμα

Re: Σταθερό άθροισμα

Re: Σταθερό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση