Λόγος εμβαδών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα. Σε συνέχεια του θέματος αυτού

: 4-8 λόγος εμβαδών.png (113.58 KiB) Προβλήθηκε 912 φορές

Δίνεται το τετράγωνο ABCD

. Το $E \in AC$ ώστε η κάθετη της

στο

να τέμνει την

στο

.

Αν ισχύει $\dfrac{AC}{EC}=k\dfrac{AB}{AL}$ τότε: Να βρεθεί συναρτήσει του , ο λόγος $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \right )}$ .

Εφαρμογή-επαλήθευση: Αν όπως στο θέμα της παραπομπής έχουμε k=1

(ισότητα λόγων) να εξεταστεί αν $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \right )}=\dfrac{4}{9}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 04, 2020 9:10 am
Καλημέρα. Σε συνέχεια του θέματος αυτού
4-8 λόγος εμβαδών.png
Δίνεται το τετράγωνο . Το $E \in AC$ ώστε η κάθετη της στο να τέμνει την στο .

Αν ισχύει $\dfrac{AC}{EC}=k\dfrac{AB}{AL}$ τότε: Να βρεθεί συναρτήσει του , ο λόγος $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \right )}$ .

Εφαρμογή-επαλήθευση: Αν όπως στο θέμα της παραπομπής έχουμε (ισότητα λόγων) να εξεταστεί αν $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \right )}=\dfrac{4}{9}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

: Λόγος Εμβαδών.Μ.png (13.66 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

$\displaystyle \frac{{AC}}{{EC}} = k\frac{{AB}}{{AL}} \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 - AE}} = \frac{{ak}}{{AL}} \Leftrightarrow$ $\boxed{AL = \frac{{ak\sqrt 2 - kAE}}{{\sqrt 2 }}}$ (1)

$\displaystyle CE \cdot CA = CK \cdot CD = BL \cdot BA \Rightarrow (a\sqrt 2 - AE)a\sqrt 2 = (a - AL)a \Leftrightarrow$ $\boxed{AL = AE\sqrt 2 - a}$ (2)

Από

και

$\displaystyle AE = \frac{{a(k + 1)\sqrt 2 }}{{k + 2}},AL = \frac{{ak}}{{k + 2}},$ απ' όπου $\displaystyle \frac{{(ADEL)}}{{(ABCD)}} = \frac{1}{{{a^2}}}\left( {\frac{1}{2}aAE\sin 45^\circ + \frac{1}{2}AE \cdot AL\sin 45^\circ } \right) \Rightarrow$ $\boxed{ \frac{{(ADEL)}}{{(ABCD)}} = {\left( {\frac{{k + 1}}{{k + 2}}} \right)^2}}$

Προφανώς η εφαρμογή επαληθεύεται.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 04, 2020 9:10 am
Καλημέρα. Σε συνέχεια του θέματος αυτού
4-8 λόγος εμβαδών.png
Δίνεται το τετράγωνο . Το $E \in AC$ ώστε η κάθετη της στο να τέμνει την στο .

Αν ισχύει $\dfrac{AC}{EC}=k\dfrac{AB}{AL}$ τότε: Να βρεθεί συναρτήσει του , ο λόγος $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \right )}$ .

Εφαρμογή-επαλήθευση: Αν όπως στο θέμα της παραπομπής έχουμε (ισότητα λόγων) να εξεταστεί αν $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \right )}=\dfrac{4}{9}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Με $\dfrac{AC}{EC}=m \Rightarrow \dfrac{AL}{AB}= \dfrac{k}{m}$ και $tan(45-x)= \dfrac{QC}{CD}= \dfrac{EC}{EA} \Rightarrow \dfrac{1-tanx}{2}= \dfrac{EC}{AC} \Rightarrow \dfrac{1- \dfrac{AL}{AB} }{2} = \dfrac{1}{m} \Rightarrow \dfrac{1- \dfrac{k}{m} }{2}= \dfrac{1}{m} \Rightarrow m=k+2$

και $\dfrac{AL}{AB} = \dfrac{k}{k+2}$ .Ακόμη, $\dfrac{AC}{EC} =k+2 \Rightarrow \dfrac{AE}{EC}=k+1$

$\dfrac{(ADE)}{(ADC)}= \dfrac{AE}{AC}= \dfrac{k+1}{k+2} \Rightarrow (ADE)=\dfrac{k+1}{k+2} . \dfrac{(ABCD)}{2}$

$\dfrac{(ALE)}{(ADE)} = \dfrac{LP}{PD} = \dfrac{AL}{AD}= \dfrac{AL}{AB}= \dfrac{k}{k+2} \Rightarrow (ALED)= \dfrac{2(k+1)}{k+2} . (ADE)= \big( \dfrac{k+1}{k+2} \big)^2 . (ABCD)$

Τελικά $\dfrac{(ALED)}{(ABCD)} = \big( \dfrac{k+1}{k+2} \big)^2$

: λόγος εμβαδών.png (15.46 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

p_gianno · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 04, 2020 9:10 am
Καλημέρα. Σε συνέχεια του θέματος αυτού
4-8 λόγος εμβαδών.png
Δίνεται το τετράγωνο . Το $E \in AC$ ώστε η κάθετη της στο να τέμνει την στο .

Αν ισχύει $\dfrac{AC}{EC}=k\dfrac{AB}{AL}$ τότε: Να βρεθεί συναρτήσει του , ο λόγος $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \right )}$ .

Εφαρμογή-επαλήθευση: Αν όπως στο θέμα της παραπομπής έχουμε (ισότητα λόγων) να εξεταστεί αν $\dfrac{\left ( ADEL \right )}{\left ( ABCD \right )}=\dfrac{4}{9}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: logos.PNG (14.23 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

$(ALED)= (ALEM)+(EMD)= (ALEM)+(EHL)=(AHEM) \rightarrow$

$\displaystyle \frac{ (ALED) }{(ABCD)} =\frac{ (AHEM) }{(ABCD)}=(\frac{AE}{AC})^2=(\frac{AH}{AB})^2=t^2$ (1)

$\displaystyle \frac{AE}{AC}= \frac{AH}{AB}=t$ οπότε AH=t AB

$AL=AB-2 LH=AB-2(1-t)AB=(2t-1) AB \rightarrow \displaystyle \frac{AB}{AL}=\frac{1}{2t-1}$

$\displaystyle \frac{EC}{AC}= \frac{HB}{AB}=\frac{AB-AH}{AB}=1-t \rightarrow \frac{AC}{EC}=\frac{1}{1-t}$

Η δοθείσα $\displaystyle \frac{AC}{EC}=k \cdot \frac{AB}{AL}$ γράφεται $\displaystyle \frac{1}{1-t}=k \frac{1}{2t-1} \rightarrow t=\frac{k+1}{k+2}$ (2)

Οπότε η (1) μέσω της (2) δίνει

$\displaystyle \frac{ (ALED) }{(ABCD)} =t^2=(\frac{k+1}{k+2})^2$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλησπέρα. Ευχαριστώ τους Γιώργο, Μιχάλη και Παναγιώτη για τις ωραίες διαδρομές που ακολούθησαν
και τις λύσεις που έδωσαν στο παρόν θέμα.

Με την ευκαιρία -και λόγω της απουσίας μου- να ευχαριστήσω και πάλι όλους όσους ασχολήθηκαν ή θ' ασχοληθούν με θέματα που υπέβαλα.

Να είστε όλοι στο καλά , ασφαλώς κι' αυτός που .. .. διαβάζει ''τώρα'' την ανάρτηση αυτή!

Φιλικά, Γιώργος.

Λόγος εμβαδών

Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Re: Λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση