Καθετότητα με ...συνέχεια

[Doloros]

Καθετότητα με συνέχεια.png (15.17 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου .

Κύκλος διέρχεται από το και δύο διακεκριμένα σημεία εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την στο .

Αν οι τέμνονται στο , να δειχθεί ότι .

Η … συνέχεια μετά τις απαντήσεις

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ]

Καθετότητα με συνέχεια.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου .

Κύκλος διέρχεται από το και δύο διακεκριμένα σημεία εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την στο .

Αν οι τέμνονται στο , να δειχθεί ότι .

Η … συνέχεια μετά τις απαντήσεις

Προφανώς οι και είναι κάθετες στις αντίστοιχα. Άρα ο κύκλος είναι ο κύκλος Euler του τριγώνου , οπότε αναγκαστικά ο κύκλος θα διέρχεται και από το ίχνος του ύψους που άγεται από το προς την , το οποίο ταυτίζεται με το . Το ζητούμενο πλέον έπεται.

[Doloros]

Καθετότητα με συνέχεια.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου .

Κύκλος διέρχεται από το και δύο διακεκριμένα σημεία εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την στο .

Αν οι τέμνονται στο , να δειχθεί ότι .

Η … συνέχεια μετά τις απαντήσεις

Προφανώς οι και είναι κάθετες στις αντίστοιχα. Άρα ο κύκλος είναι ο κύκλος Euler του τριγώνου , οπότε αναγκαστικά ο κύκλος θα διέρχεται και από το ίχνος του ύψους που άγεται από το προς την , το οποίο ταυτίζεται με το . Το ζητούμενο πλέον έπεται.

Πολύ ωραία Δημήτρη .

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ]

Καθετότητα με συνέχεια.png

Δίδεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου .

Κύκλος διέρχεται από το και δύο διακεκριμένα σημεία εσωτερικά του τόξου του ημικυκλίου και τέμνει την στο .

Αν οι τέμνονται στο , να δειχθεί ότι .

Η … συνέχεια μετά τις απαντήσεις

Αλλιώς,
¨Εστω και το ορθόκεντρο του . Τότε είναι γνωστό ότι από το πλήρες τεράπλευρο η πολική του είναι η ευθεία , άρα αν , προκύπτει ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική και αφού είναι το μέσο της , από τη σχέση είναι , οπότε εύκολα είναι και το ζητούμενο έπεται.