Από σταθερό σημείο 7

[KARKAR]

Από σταθερό σημείο 7.png (12.17 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

Στις πλευρές , τριγώνου , κινούνται σημεία αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

. Δείξτε ότι ο κύκλος , διέρχεται και από άλλο - πλην του - σταθερό σημείο .

[S.E.Louridas]

Από σταθερό σημείο 7.pngΣτις πλευρές , τριγώνου , κινούνται σημεία αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

. Δείξτε ότι ο κύκλος , διέρχεται και από άλλο - πλην του - σταθερό σημείο .

Εστω το σημείο τομής του κύκλου με την διχοτόμο της γωνίας Καταρχάς θεωρούμε
Από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε:
αφού το τρίγωνο διατηρείται όμοιο προς τον εαυτό του, οπότε
Το σταθερό λοιπόν σημείο είναι το σημείο

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Από σταθερό σημείο 7.pngΣτις πλευρές , τριγώνου , κινούνται σημεία αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

. Δείξτε ότι ο κύκλος , διέρχεται και από άλλο - πλην του - σταθερό σημείο .

28.PNG (28.68 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο , το ορίζεται ως η τομή της με την κάθετη από το στην εσωτερική διχοτόμο της οπότε προβολικότητα και αν μέσα των τμημάτων αντίστοιχα έχω ότι το (κέντρο του κύκλου )ορίζεται ως η τομή δύο προβολικά συνδεδεμένων δέσμεων(pencils)-με τα κέντρα στο άπειρο- οπότε το κινείται σε ευθεία αφού όταν στο άπειρο τότε και τα
Το κινείται λοιπόν σε σταθερή ευθεία και τελειώσαμε.

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Από σταθερό σημείο 7.pngΣτις πλευρές , τριγώνου , κινούνται σημεία αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

. Δείξτε ότι ο κύκλος , διέρχεται και από άλλο - πλην του - σταθερό σημείο .

Το άλλο σταθερό σημείο από το οποίο περνά ο κύκλος ,προσδιορίζεται ως η τομή της μεσοκαθέτου

της με τη διχοτόμο της γωνίας

Πράγματι,αν η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τον κύκλο στο ,κατασκευάζοντας το παραλ/μμο

,είναι προφανής η ισότητα των τριγώνων

Επομένως, και το είναι εγγράψιμμο ,άρα

Από σταθερό σημείο 7.png (33.42 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

[Doloros]

Από σταθερό σημείο 7.pngΣτις πλευρές , τριγώνου , κινούνται σημεία αντίστοιχα , αλλά με τρόπο ώστε :

. Δείξτε ότι ο κύκλος , διέρχεται και από άλλο - πλην του - σταθερό σημείο .

Απο σταθερό σημείο 7.png (25.6 KiB) Προβλήθηκε 773 φορές

Τα στοιχεία του είναι σταθερά .

Το κέντρο του κύκλου ανήκει στη μεσοκάθετο του μεταβλητού και θα τον τέμνει στο νότιο πόλο που ανήκει στη σταθερή διχοτόμο της γωνίας .

Οι αποστάσεις του , από τις είναι ίσες με άμεση συνέπια :

Δηλαδή το είναι η τομή της σταθερής διχοτόμου της με τη σταθερή μεσοκάθετο της πλευράς , άρα σταθερό .

Παρατήρηση .

Μιχάλη απλώς ήρθα δεύτερος !