Μικρό τμήμα και παραλληλία

KARKAR · #1

: Μικρό τμήμα και παραλληλία.png (6.34 KiB) Προβλήθηκε 940 φορές

Στο σχήμα βλέπετε το - $4\times 3$ - ορθογώνιο OABC

και το τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AD}$ . Από το

,

φέραμε το εφαπτόμενο προς το τόξο , τμήμα

. Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

Εξετάστε επιπλέον , αν το τμήμα

είναι παράλληλο προς την διαγώνιο

, του ορθογωνίου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 06, 2021 12:28 pm
Μικρό τμήμα και παραλληλία.pngΣτο σχήμα βλέπετε το - $4\times 3$ - ορθογώνιο και το τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AD}$ . Από το ,

φέραμε το εφαπτόμενο προς το τόξο , τμήμα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Εξετάστε επιπλέον , αν το τμήμα είναι παράλληλο προς την διαγώνιο , του ορθογωνίου .

: Μικρό τμήμα και παραλληλία.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 927 φορές

Προφανώς τα σημεία O,A,B,S,C

ανήκουν (λόγω των ορθών γωνιών) σε κύκλο διαμέτρου (και )

, και επειδή OS=OA=BC

το εγγεγραμμένο τετράπλευρο OBSC

είναι ισοσκελές τραπέζιο (εγγεγραμμένο σε κύκλο με ίσες διαγώνιες) , οπότε $SC\parallel OB$ και με

μεσοκάθετη της

(από τα εφαπτόμενα τμήματα) θα είναι και $CS\bot AS$ .
Οι διαγώνιες του ορθογωνίου OABC

έχουν μήκος

(από Π.Θ) και στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle OAB\left( AM\bot OB \right),M\equiv OB\cap AS$ θα ισχύει: $AM\cdot OB=AB\cdot AO\Rightarrow \ldots AM=\dfrac{12}{5}\overset{AS=2AM}{\mathop{\Rightarrow }}\,AS=\dfrac{24}{5}$
Τέλος από το Π.Θ στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle CSA\Rightarrow CS=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{S}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \dfrac{24}{5} \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( 5-\dfrac{24}{5} \right)\cdot \left( 5+\dfrac{24}{5} \right)}=\sqrt{\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{49}{5}}=\dfrac{7}{5}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 06, 2021 12:28 pm
Μικρό τμήμα και παραλληλία.pngΣτο σχήμα βλέπετε το - $4\times 3$ - ορθογώνιο και το τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AD}$ . Από το ,

φέραμε το εφαπτόμενο προς το τόξο , τμήμα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Εξετάστε επιπλέον , αν το τμήμα είναι παράλληλο προς την διαγώνιο , του ορθογωνίου .

a)Λόγω της προφανούς ομοκυκλικότητας των O,C,S,B,A

οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες.Άρα $\angle ASE=90^0 \Rightarrow EA$ διάμετρος

Με Π.Θ $CA=5\Rightarrow EC=5$ και DC=1

και $DC.CK=CS.CE \Rightarrow 7=5x \Rightarrow CS=x= \dfrac{7}{5}$

b)Προφανές αφού CBOE

παραλ/μμο

: τμήμα-παραλληλία.png (23.25 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 06, 2021 12:28 pm
Μικρό τμήμα και παραλληλία.pngΣτο σχήμα βλέπετε το - $4\times 3$ - ορθογώνιο και το τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AD}$ . Από το ,

φέραμε το εφαπτόμενο προς το τόξο , τμήμα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Εξετάστε επιπλέον , αν το τμήμα είναι παράλληλο προς την διαγώνιο , του ορθογωνίου .

Το τετράπλευρο CSBO

είναι εγγράψιμο σε κύκλο γιατί $\hat{OSB}=\hat{BCO}=90^{0}$

ακόμη OC=SB=AB=3

και το κέντρο του κυκλου το

Συνεπώς το τετράπλευρο CSBO

είναι ισοσκελές τραπέζιο με CS//OB

Το τρίγωνο $\Theta CS$ είναι ισοσκελές με $S\Theta =C\Theta$ γιατί $\hat{\Theta SC}=\hat{\Theta CS}$

Απο δυναμη σημείου ως προς κύκλο $\Theta D.(\Theta D+8)=S\Theta ^{2},(1),S\Theta =C\Theta ,(2),OB=5,DC=1,(3), (1),(2),(3)\Rightarrow S\Theta =\dfrac{7}{6},\Theta D=\dfrac{1}{6}, CS//OB\Rightarrow \dfrac{SC}{OB}=\dfrac{\Theta C}{O\Theta }\Rightarrow CS=\dfrac{7}{5}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 06, 2021 12:28 pm
Μικρό τμήμα και παραλληλία.pngΣτο σχήμα βλέπετε το - $4\times 3$ - ορθογώνιο και το τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AD}$ . Από το ,

φέραμε το εφαπτόμενο προς το τόξο , τμήμα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Εξετάστε επιπλέον , αν το τμήμα είναι παράλληλο προς την διαγώνιο , του ορθογωνίου .

Φέρνω $CP\bot OB$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Η

τέμνει την

στο

και προφανώς είναι $SA\bot OB.$

: Μικρό τμήμα και παραλληλία.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

To

είναι εγγράψιμο κι επειδή CO=SB=3

θα είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα $\boxed{CS||OB}$

Εξάλλου, επειδή OB=5,

αν θέσω

θα είναι

και

$\displaystyle {3^2} = BT \cdot BO = 5x \Leftrightarrow x = \frac{9}{5}.$ Επομένως, $\displaystyle CS = 5 - 2\frac{9}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{CS=\dfrac{7}{5}}$

nickchalkida · #6

Από $OB^2 = OA^2 +AB^2 \rightarrow OB =5$ και SB = SA = 3

οπότε
$\triangle CSO = \triangle SCB$ και τότε $CS \parallel OB$ , τέλος OCSB

περιγράψιμο και από θεώρημα Πτολεμαίου

$\displaystyle{ 5 \cdot CS + 3 \cdot 3 = 4 \cdot 4 \rightarrow CS = {7 \over 5} }$

Μικρό τμήμα και παραλληλία

Μικρό τμήμα και παραλληλία

Re: Μικρό τμήμα και παραλληλία

Re: Μικρό τμήμα και παραλληλία

Re: Μικρό τμήμα και παραλληλία

Re: Μικρό τμήμα και παραλληλία

Re: Μικρό τμήμα και παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση