Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο

KARKAR · #1

: Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο.png (17.58 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Ο πράσινος κύκλος διέρχεται από το κέντρο του μπλε και τον τέμνει στα σημεία A , B

. Σημείο

κινείται στον μπλε κύκλο και οι SA , SB

, τέμνουν τον πράσινο στα σημεία P , T

αντίστοιχα ,

τα οποία βρίσκονται στο εσωτερικό του μπλε κύκλου .

α) Δείξτε ότι το τμήμα

έχει σταθερό μήκος .

β) Αν

το μέσο του

, δείξτε ότι η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 26, 2022 7:30 pm
Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο.pngΟ πράσινος κύκλος διέρχεται από το κέντρο του μπλε και τον τέμνει στα σημεία . Σημείο

κινείται στον μπλε κύκλο και οι , τέμνουν τον πράσινο στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το τμήμα έχει σταθερό μήκος .

β) Αν το μέσο του , δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

Θέτουμε $\widehat {ASB} = \theta$ .

Eίναι $\widehat {APB}= \widehat {AKT}=2\widehat {ASB}= 2\theta}$ , άρα $\widehat {PBS}= 2\theta - \theta = \theta =$ σταθερό, οπότε και το μήκος της χορδής της

είναι σταθερό, όπως θέλαμε.

'Εστω

το αντιδιαμετρικό το

στον μικρό κύκλο, δηλαδή το

είναι το μέσον του τόξου ACB

. Τότε

$\widehat {CTB}= \frac {1}{2} \widehat {APB}= \theta$ .

Άρα TC//SP

. Όμοια

. Άρα το

είναι παραλληλόγραμμο. Η

ως διαγώνιος διέρχεται από το

, δηλαδή η

διέρχεται από το (σταθερό) σημείο

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 26, 2022 7:30 pm
Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο.pngΟ πράσινος κύκλος διέρχεται από το κέντρο του μπλε και τον τέμνει στα σημεία . Σημείο

κινείται στον μπλε κύκλο και οι , τέμνουν τον πράσινο στα σημεία αντίστοιχα ,

τα οποία βρίσκονται στο εσωτερικό του μπλε κύκλου .

α) Δείξτε ότι το τμήμα έχει σταθερό μήκος .

β) Αν το μέσο του , δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

: Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο_a.png (27.57 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

Ας είναι $\left( {O,R} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {K,r} \right)$ οι δύο κύκλοι . Θα είναι:

Προφανώς, $\vartriangle SAB \approx \vartriangle STP\,$ και ως γνωστό $\vartriangle SAT \approx \vartriangle OAK$ . Θέτω $PT = x\,\,,\,$ και AB = m

(σταθερό).

Θα ισχύουν ταυτόχρονα: $\left\{ \begin{gathered} \frac{{SA}}{{ST}} = \frac{{AB}}{{TP}} = \frac{m}{x} \hfill \\ \frac{{SA}}{{ST}} = \frac{{OA}}{{OK}} = \frac{R}{d} = \frac{R}{r} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{x = \frac{{mr}}{R} = \frac{{md}}{R}}$ σταθερό .

το β σαν τον κ. Λάμπρου, αλλά θα το ψάκω και διαφορετικά.

Ας είναι

το σταθερό αντιδιαμετρικό του

στον κύκλο $\left( {K,r} \right)$ .

$\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_1}}$ από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο APOF

.

$\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_3}}$ βαίνουν στο ίδιο τόξο χορδής

του $\left( {K,r} \right)$ και αφού η διάκεντρος

είναι μεσοκάθετος στην

θα είναι $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ έτσι η $PF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PO$ είναι διχοτόμοι

εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών άρα κάθετοι μεταξύ τους.

: Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο β ερώτημα.png (36.69 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Από την άλλη μεριά τα αμβλυγώνια στο

τρίγωνα , $POS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,POB$ ,

είναι ίσα γιατί έχουν την

κοινή , τις $OS = OB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_4}}$ (Έμμεσο κριτήριο).

Άρα το PSB

είναι ισοσκελές κι έτσι, $PO \bot SB$ , συνεπώς PF//SB

.

Με όμοιο τρόπο TF//SP

, οπότε το τετράπλευρο PSBF

είναι παραλληλόγραμμο

και αναγκαστικά η

διέρχεται από το μέσο του

και από το σταθερό σημείο

Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο

Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο

Re: Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο

Re: Σταθερό τμήμα και σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση