Το τρίτο τρίγωνο

KARKAR · #1

: Το τρίτο τρίγωνο.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

$\bigstar$ Τα σημεία A , S , B

είναι συνευθειακά και επιπλέον είναι : $ST\parallel AP , SP \parallel BT$ .

Αν : (PAS)=9 , (TSB)=4

, υπολογίστε το εμβαδόν

, του τριγώνου SPT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 25, 2022 7:57 pm
$\bigstar$ Τα σημεία είναι συνευθειακά και επιπλέον είναι : $ST\parallel AP , SP \parallel BT$ .

Αν : , υπολογίστε το εμβαδόν , του τριγώνου .

Καλημέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Το τρίτο τρίγωνο 1.png (23.16 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle{OAB}$ το τετράπλευρο $\displaystyle{OPST}$ είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς:

$\displaystyle{E(SPT)=E(OPS)=E(OST)=E(OPT)=x \ \ (1) }$

Όμως από το τρίγωνο $\displaystyle{OAS}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{(SAP)}{(OPS}=\frac{AP}{OP}=\frac{AP}{ST} \Rightarrow \frac{9}{x}=\frac{AP}{ST} \ \ (2) }$

Όμοια από το τρίγωνο $\displaystyle{OSB}$ θα είναι:

$\displaystyle{\frac{(OST)}{(STB)}=\frac{OT}{TB} \Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{SP}{TB} \ \ (3)}$

Τέλος επειδή τα τρίγωνα $\displaystyle{APS}$ και $\displaystyle{STB}$ είναι όμοια, θα είναι:

$\displaystyle{\frac{AP}{ST}=\frac{SP}{TB} \ \ (4) }$

Έτσι από τις (2),(3) και (4) προκύπτει:

$\displaystyle{ \frac{9}{x}=\frac{x}{4} \Rightarrow x=6}$

Σημείωση:
Το σχήμα κατασκευάστηκε με τα δοσμένα στοιχεία.

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 25, 2022 7:57 pm
Το τρίτο τρίγωνο.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι συνευθειακά και επιπλέον είναι : $ST\parallel AP , SP \parallel BT$ .

Αν : , υπολογίστε το εμβαδόν , του τριγώνου .

Επειδή $\vartriangle PAS \approx \vartriangle TSB$ και έχουν λόγο εμβαδών , $\dfrac{9}{4}$ ο λόγος ομοιότητάς τους είναι $\dfrac{3}{2}$ .

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\,$ τις $PS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PA$ .

Τώρα είναι $\vartriangle PAS \approx \vartriangle PDC$ . Θέτω $SB = 2k\,\,$ και λόγω της πρώτης ομοιότητας θα είναι AS = 3k

.

: Το τρίτο τρίγωνο.png (17.87 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

Από αυτή την πρώτη ομοιότητα ο λόγος των από τα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ υψών είναι $\dfrac{3}{2}$ και θα ισούται με το λόγο $\dfrac{{PA}}{{DA}}$ δηλαδή: $\dfrac{{PA}}{{DA}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{PA - DA}} = \dfrac{3}{{3 - 2}} = 3$ οπότε , DC = k

.

Μετά απ’ αυτά : $\left( {TCS} \right) = \left( {TSB} \right) = 4\,\,,\,\,\left( {PDC} \right) = 1\,\,,\,\,\left( {PCT} \right) = 2 \Rightarrow \boxed{E = \left( {PST} \right) = 2 + 4 = 6}$

Την είχα από χθες βράδυ έτοιμη αλλά νόμιζα ότι η διορία ήταν μέχρι το βράδυ σήμερα .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 25, 2022 7:57 pm
Το τρίτο τρίγωνο.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι συνευθειακά και επιπλέον είναι : $ST\parallel AP , SP \parallel BT$ .

Αν : , υπολογίστε το εμβαδόν , του τριγώνου .

Ισχύει

.Άρα

και

$\triangle PAS \simeq \triangle TSB \Rightarrow \dfrac{AS^2}{SB^2} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow \dfrac{AS}{SB}= \dfrac{PC}{CB}= \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{9}{(CAB)}= \dfrac{3}{2} \Rightarrow (CAB)=(PTS)=6$

: Το τρίτο τρίγωνο.png (16.15 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

#5

Έχω τρεις λύσεις της άσκησης από τις οποίες οι δύο μοιάζουν με τις προηγούμενες, οπότε δεν τις γράφω. Δίνω μία τρίτη στην οποία φαίνεται κάπως καθαρά ότι το ζητούμενο εμβαδόν είναι (γενικότερα) $E=\sqrt {PQ}$ .

Λόγω παραλληλίας έχουμε τρεις γωνίες ίσες με $\theta$ (βλέπε σχήμα). Επίσης από τα όμοια τρίγωνα εμβαδών $P,\,Q$ έχουμε $\dfrac {a}{c}= \dfrac {b}{d}$ , οπότε ad=bc

. Έχουμε τότε

$E^2 = \left ( \dfrac {1}{2} bc \sin \theta \right )^2 = \dfrac {1}{4} b^2c^2 \sin ^ 2\theta = \dfrac {1}{4} (bc)(ad) \sin ^ 2\theta= \left ( \dfrac {1}{2} ab \sin \theta \right )\left ( \dfrac {1}{2} cd \sin \theta \right )= PQ$ . Όπως θέλαμε.

Το τρίτο τρίγωνο

Το τρίτο τρίγωνο

Re: Το τρίτο τρίγωνο

Re: Το τρίτο τρίγωνο

Re: Το τρίτο τρίγωνο

Re: Το τρίτο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση