Τρομακτική διάμετρος

KARKAR · #1

: Τρομακτική διάμετρος.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

Υπολογίστε την διάμετρο

του ημικυκλίου του σχήματος , (AP=8 , S , M , T

συνευθειακά

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 27, 2022 7:58 pm
Τρομακτική διάμετρος.pngΥπολογίστε την διάμετρο του ημικυκλίου του σχήματος , συνευθειακά .

Ας είναι

το μέσο της χορδής AP = 8

, άρα

. Θέτω $NM = x\,\,,\,\,SN = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = k$ .

Επειδή , $SM \cdot MT = AM \cdot MP \Rightarrow 9 = \left( {4 + x} \right)\left( {4 - x} \right) \Rightarrow x = \sqrt 7 \,\,\left( 1 \right)$ . Το τρίγωνο PSN

είναι ισοσκελές . Από Θ. Stewart

σ αυτό έχω:

$NP \cdot S{M^2} = NM \cdot A{P^2} + MP \cdot S{N^2} - NP \cdot NM \cdot MP$ ή $36 = 16\sqrt 7 + \left( {4 - \sqrt 7 } \right){y^2} - 4\sqrt 7 \left( {4 - \sqrt 7 } \right)$

Βρίσκω: $y = \dfrac{{2 + 2\sqrt 7 }}{3}\,\,\left( 2 \right)$ Με ίδιο Θεώρημα στο $\vartriangle SAM$ ,( ή με Θ διαμέσων στο $\vartriangle SAP$ )

: Τρομακτική διάμετρος_κατασκευή.png (25.31 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

βρίσκω: $k = \dfrac{{\sqrt {208 + 16\sqrt 7 } }}{3}\,\,\left( 3 \right)$ . Από το $\vartriangle PSN$ έχω , $\cos \theta = \dfrac{{32 - \sqrt 7 }}{{36}} \Rightarrow \cos 2\theta = 2{\cos ^2}\theta - 1 = \dfrac{{383}}{{648}} - \dfrac{{8\sqrt 7 }}{{81}}\,\,\left( 4 \right)$

και με Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle OSA$ βρίσκω : $R = \sqrt {\dfrac{{2368 - 448\sqrt 7 }}{{57}}} \simeq 4,555127075$ .

Παρατήρηση

Υπάρχει πιο απλή και στειχειώδης λύση . Αν μπορέσω θα την ανεβάσω

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 27, 2022 7:58 pm
Τρομακτική διάμετρος.pngΥπολογίστε την διάμετρο του ημικυκλίου του σχήματος , συνευθειακά .

Δύναμη του

προς το κύκλο $\left( {O,R} \right)$ , $AM \cdot MP = AM \cdot MT \Rightarrow \left( {8 - MP} \right)MP = 3 \cdot 3$ κι επειδή MP < AM

έχω: $MP = 4 - \sqrt 7$ .

Από το 1ο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle PST$ με PT = a

έχω: $a = 4\sqrt {3 - \sqrt 7 } \,$

: Τρομακτική διάμετρος_new_oritzin.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Τώρα στο τρίγωνο αυτό ξέρω όλες τις πλευρές του και από το τύπο του Ήρωνα έχω:

$\left( {PST} \right) = E = \sqrt {31 - 8\sqrt 7 }$ , άρα το ύψος AD = h

είναι $h = \dfrac{{2E}}{a} = \sqrt {\dfrac{{37 + 7\sqrt 7 }}{8}}$

Και από τον τύπο : bc = 2Rh

προκύπτει :

$R = \sqrt {\dfrac{{2368 - 448\sqrt 7 }}{{57}}}$

Τρομακτική διάμετρος

Τρομακτική διάμετρος

Re: Τρομακτική διάμετρος

Re: Τρομακτική διάμετρος

Μέλη σε σύνδεση