Όμορφη συνευθειακότητα

KARKAR · #1

: Όμορφη συνευθειακότητα.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Στο τρίγωνο ABC

η μεσοκάθετος της διχοτόμου

, τέμνει την πλευρά

στο σημείο

.

Ονομάζουμε

το σημείο τομής των τμημάτων BE , CP

και

το μέσο της πλευράς

.

Δείξτε ότι τα σημεία : A , S , M

είναι συνευθειακά .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 02, 2022 8:07 pm
Όμορφη συνευθειακότητα.pngΣτο τρίγωνο η μεσοκάθετος της διχοτόμου , τέμνει την πλευρά στο σημείο .

Ονομάζουμε το σημείο τομής των τμημάτων και το μέσο της πλευράς .

Δείξτε ότι τα σημεία : είναι συνευθειακά .

: όμορφη συνευθειακότητα.png (21.31 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

Αν $T\equiv PN\cap BC$ τότε προφανώς από τα ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle PBE$ (

σημείο της μεσοκαθέτου της

) , $\vartriangle BTP$ (

ύψος και διχοτόμος) και $\vartriangle EPT$ (

σημείο της μεσοκαθέτου (λόγω του ισοσκελούς $\vartriangle BTP$ )) προκύπτει ότι το τετράπλευρο PETB

είναι ρόμβος και συνεπώς $PE\parallel BT\equiv BC$ .
Οπότε θα είναι: $\dfrac{MB}{MC}\cdot \dfrac{EC}{EA}\cdot \dfrac{PA}{PB}\overset{MB=MC,\frac{EC}{EA}=\frac{PB}{PA}}{\mathop{=}}\,1$ και από το αντίστροφο του θεωρήματος του Ceva προκύπτει ότι $BE\cap CP\cap AM\equiv S$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Εναλλακτικά μετά την απόδειξη ότι $PE\parallel BC$ μπορούμε να πούμε ότι η ASM

ταυτίζεται με την ευθεία Gauss – Newton του πλήρους τεραπλεύρου PQSE.BC

ή

Από το τραπέζιο PECB

(γνωστή πρόταση) ή

Από το θεώρημα της κεντρικής δέσμης A.BMC

και $PE\parallel BC$

#3

: Όμορφη συνευθειακότητα_oritzin.png (42.48 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

Αφού η

μεσοκάθετος στη διχοτόμο

θα είναι : $\widehat {CBE} = \widehat {EBA} = \widehat {PEB}$ άρα PE//BC

.

Στο τραπέζιο BCEP

οι μη παράλληλες πλευρές του τέμνονται στο

και έτσι η

ευθεία που συνδέει το

με ένα από τα μέσα των βάσεων , θα διέρχεται απο το άλλο μέσο και από το σημείο τομής των διαγώνιων του .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 02, 2022 8:07 pm
Όμορφη συνευθειακότητα.pngΣτο τρίγωνο η μεσοκάθετος της διχοτόμου , τέμνει την πλευρά στο σημείο .

Ονομάζουμε το σημείο τομής των τμημάτων και το μέσο της πλευράς .

Δείξτε ότι τα σημεία : είναι συνευθειακά .

Προφανώς

κι έστω $MS \cap PE=K$

Είναι, $\dfrac{PK}{MC}= \dfrac{PS}{SC}$ .Αλλά από θ.διχοτόμου $\dfrac{PS}{SC}= \dfrac{PB}{BC}= \dfrac{PE}{BC}$

Άρα $\dfrac{PK}{MC}= \dfrac{PE}{BC}$ κι από θ.κ.δέσμης M,K,A

συνευθειακά

: όμορφη συνευθειακότητα.png (21.42 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 02, 2022 8:07 pm
Όμορφη συνευθειακότητα.pngΣτο τρίγωνο η μεσοκάθετος της διχοτόμου , τέμνει την πλευρά στο σημείο .

Ονομάζουμε το σημείο τομής των τμημάτων και το μέσο της πλευράς .

Δείξτε ότι τα σημεία : είναι συνευθειακά .

$\hat{PBE}=\hat{EBC}=\hat{PEB}=\omega$ Συνεπώς τπ τετράπλευρο EPBT

είναι ρόμβος .

BP=d

,

$NE//BP,\dfrac{SB}{SE}=\dfrac{d}{NE},(*), PE//BC \Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AP}{AB}\Leftrightarrow AE=\dfrac{b(c-d)}{c},(**),$

Από το αντίστροφο θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο BEC

με τέμνουσα MSA

αρκεί να αποδειχθεί ότι $\dfrac{BS}{SE}=\dfrac{AC}{AE},(1), BP//NE ,\dfrac{BS}{SE}=\dfrac{d}{NE},(2),$

Δηλαδή αρκεί να αποδειχθεί οτι

$\dfrac{d}{NE}=\dfrac{b}{AE}\Leftrightarrow \dfrac{AE}{NE}=\dfrac{b}{d}, \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AP}{AB}\Leftrightarrow AE=\dfrac{b(c-b)}{c}, \dfrac{NE}{AP}=\dfrac{EC}{b}\Rightarrow NE=\dfrac{d(c-d)}{c}, \dfrac{AE}{NE}=\dfrac{b}{d}$

nickchalkida · #6

Παρόμοια με του έτερου Νίκου ... λίγο διαφορετική αιτιολόγηση. Είναι όπως αιτιολογήθηκε $PE \parallel BC$ . Τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & (BPC) = (BEC) \rightarrow (BPC) - (BSC) = (BEC) - (BSC) \rightarrow (BPS) = (CES) \cr & (PEB) = (PEC) \rightarrow (PEB) - (BPS) = (PEC) - (CES) \rightarrow (PDS) = (DES) \cr \end{aligned} }$

άρα

μέσον του

, άρα

, τότε

$\displaystyle{ (ASB) = (APD) +(PDS) +(BPS) = (ADE)+(DES)+(CES) =(ASC) }$

δηλαδή

σημείου της διαμέσου

του

.

Όμορφη συνευθειακότητα

Όμορφη συνευθειακότητα

Re: Όμορφη συνευθειακότητα

Re: Όμορφη συνευθειακότητα

Re: Όμορφη συνευθειακότητα

Re: Όμορφη συνευθειακότητα

Re: Όμορφη συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση